Diffusion Model (扩散生成模型)的基本原理详解(二）Score-Based Generative Modeling(SGM)-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了Diffusion Model (扩散生成模型)的基本原理详解(二）Score-Based Generative Modeling(SGM)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本篇是《Diffusion Model (扩散生成模型)的基本原理详解(一）Denoising Diffusion Probabilistic Models(DDPM)》的续写，继续介绍有关diffusion的另一个相关模型，同理，参考文献和详细内容与上一篇相同，读者可自行查阅，本篇着重介绍Score-Based Generative Modeling(SGM)的部分，本篇的理论部分参考与上一节相同，当然涉及了一些原文的理论部分，笔者在这里为了更能让各位读懂，略掉了原文的一些理论证明，感兴趣读者可以自行阅读Song Yang et al.SGM原文。笔者只介绍重要思想和重要理论，省略了较多细节篇幅。下一节介绍本基础系列最后一部重点:Stochastic Differential Equation(SDE)。

2、Score-Based Generative Models(SGM)

不同于DDPM，这是一个基于分数的Model，换而言之通过预测评分来获取最终的信息。在阅读本篇之前，这样我们显然会产生两个问题：
一、Network应该以什么为基准的评分？
二、DDPM网络是一个可以直接给出的后验分布(去噪链),那么如果我得到了一个基于评分的网络，如何进行所谓的“采样”，这里没有直接对分布进行所谓的预测。
下面开始进入正题介绍，先从评分函数讲起。

2.1、Score-Function(评分函数)

SGMS的核心思想在于评分函数的定义，让我们来一起看一下它的Score-Function的定义是怎么样定义的，以下是它的定义：

假若有一个概率密度函数 $p (x)$ ,定义“Stein-ScoreFunction”如下：
$Stein-ScoreFunction=\nabla_xlog(p(x))$ 显然的，该score表示了概率密度函数增长的快慢程度。

2.2、SGM forward Markov Chain(加噪链)—— q ( x t ∣ x t − 1 ) q(x_t|x_{t-1}) q(xt∣xt−1)

我们仍旧假设原始数据 $x_0$ 是从某一分布 $x_0～q(x_0)$ 中采样得到。不同于之前DDPM,SGM使用另外一种更直接化的分布来进行采样，具体操作如下：假设生成噪声步长为 $T$ ,给予一组逐步弱化的噪声: $[\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3···\sigma_T]$ ,则会有如下结论：
在第 $i$ 步噪声数据 $x_i$ 满足从如下分布中进行采样：
$x_i～N(x_0,\sigma_i^2I)\iff q(x_i|x_0)=N(x_0,\sigma_i^2I)\iff q(x_i)=\int q(x_i|x_0)q(x_0)d(x_0)$

2.3、Score-Network—— s θ ( x t , t ) s_\theta(x_t,t) sθ(xt,t)

2.3.1、SGM与DDPM的一致性&Loss-Function

不同于DDPM，这里并不是直接训练出一个去噪链直接解决问题并生成数据，我们的目的是想训练出一个可以模拟Score-Function的良好网络，再基于该Score-Function进行反向的采样，即想要设计一个Network : $s_\theta(x_t,t)$ 用来模拟当前的Score-Function： $\nabla_{x_{t}} log(q(x_t|x_0))$ 。那么显然地，目标函数变为：
$Loss=||\nabla_{x_{t}} log(q(x_t|x_0))-s_\theta(x_t,t)||^2$
而我们已经知道了 $q(x_t|x_0)=N(x_0,\sigma_t^2I)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}e^{-\frac{(x_t-x_0)^2}{2\sigma_t^{2}}}$
那么显然地，我们会有 $\nabla_{x_{t}}log[q(x_t|x_0)]=-\frac{x_t-x_0}{\sigma_t^{2}}$
则会有当前优化目标可以视为如下的函数
$Loss=||-\frac{x_t-x_0}{\sigma_t^{2}}-s_\theta(x_t,t)||^2$
注意到第一项，这可视为从正态分布进行的采样,差了一个非网络参数 $\sigma_t$ 即:
$Loss^*=\sigma_t^2Loss=||\frac{x_t-x_0}{\sigma_t}+\sigma_ts_\theta(x_t,t)||^2$
令 $-\sigma_ts_\theta(x_t,t)=z_\theta(x_t,t)$
$Loss^*=\sigma_t^2Loss=||z-z_\theta||^2$
如果读者已经度过了笔者写过的(一)DDPM部分，读者会惊奇的发现，这与DDPM的优化目标是一致的，从原理上，它们的目的是相同的。

2.3.2、SGM-Sampling(Langevin Monte Carlo)

SGM的采样办法有很多种，不同于DDPM的那种“一步一步”反向估计后验估计的办法，这里首先介绍使用Langevin Monte Carlo(基于Langevin Dynamics的一种办法)进行采样，这里介绍算法过程，有关Langevin Monte Carlo理论部分的介绍可见随机过程中的Important-Sampling等会有一些介绍，笔者之后会给予一些简单的补充资料来对Langevin Monte Carlo理论进行说明，这里读者可以认为它的目的是去模拟原始分布 $q(x_0)$ ，然后直接用该分布采样生成数据。
先来介绍Langevin Monte Carlo采样算法的过程：
假设我们已经训练好了一个网络 $s_\theta(x_t,t)$ ，它可以作为 $\nabla_{x_{t}} log(q(x_t|x_0))$ 的近似，我们下面要利用该网络进行分布预估:给定比步长(固定)为 $s^*$ $s^*$ 足够小 $)$ ,迭代次数为 $N$ 。下面进行反向生成过程，笔者将其总结为SGM算法：

SGM算法(Langevin Monte Carlo法)：
①、随机采样一个样本 $x_T^{0}～N(0,1)$ $(T$ 足够大 $)$ ,记录当前时间 $t = T$
②、迭代 $x_t^{i+1}=x_t^{i}+\frac{1}{2}s^*s_\theta(x_t^{i},t)+\sqrt{s^*}z$ 直到 $i = N$
③、 $x_{t-1}^{0}=x_{t}^T,t=t-1$
④、重复②~③直到 $t = 0$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-486868.html