零钱兑换（Coins Change) -动态规划C语言实现

零钱兑换（Coins Change) -动态规划C语言实现

1. 前言

零钱兑换是经典的动态规划问题，也是贪心解法不足的反证答案。它要求兑换一定总整数的零钱，满足硬币数量最少的条件。假定我们有3类零钱，构成数组coins[]={1,7,10}，现在兑换总额14的金额，如果采用贪心策略，我们有10+1+1+1+1=14, 共需要5枚硬币。实际上本题的最少硬币方案为7+7=14，仅需要两枚硬币即可。 这实际上就体现了动态规划的优势，try them and try them all.

2. 问题描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。（https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/）

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

3. 问题解决

遵从《算法导论》上的CRCC模式，我们对此问题展开具体的分析，采用递归的思路进行初步问题分析，假定f(i)为总金额为i情况下，最少的硬币个数，同时假定有n个不同的硬币类型。

a) 表征最优问题的结构Characterize the structure of the optimal solution

需要解决的问题是，如何利用f(i)之前的信息，求出f(i)当前的值。利用现有的信息，能确定的变量为金额总数，而且当前的金额为i, 那么就有：
f ( i ) = m i n { f ( i − c 1 ) + 1 ， f ( i − c 2 ) + 1... f ( i − c k ) + 1 } ; ( 1 < = k < = n   a n d   i > = c k ) f(i)=min\{f(i-c_1)+1，f(i-c_2)+1...f(i-c_k)+1\}; (1<=k<=n\ and\ i>=c_k) f(i)=min{f(i−c1​)+1，f(i−c2​)+1...f(i−ck​)+1};(1<=k<=n and i>=ck​)
直接引用Leetcode答案的一张递归图来阐述此问题，有三类硬币面额{1,2,3}，现在有6的金额总数需要兑换，请问需要的最少硬币个数。

下面的递归树，除了底层的结点，实际上由三叉树组成。对于每个问题，我们都有三个选择，每个选择的代价为1，路径的长度代表了每类选择所需的硬币个数。显而易见的是，如果兑换总额为6，最少所需硬币个数组合为最右边的路径(3+3),所需硬币个数为2；同理，也可以求得最多硬币个数组合为最左边的路径(1+1+1+1+1+1)，所需硬币个数为6。

b) 递归定义子问题的值(Recursively define the value of the optimal solution)

要达到递归定义子问题的值的目的，一般情况下就需要对第一步的子问题进行抽象处理，形成循环递归的形式，循环递归的本质是构成多叉树，回到问题的本身，由于上面问题的子问题的结构和形式一致，而且对于每个子问题的选择，其代价（附加值）都为1，所以很容易抽象为关系式：
f ( i ) = m i n { f ( i − c k ) + 1 } ; ( 1 < = k < = n   a n d   i > = c k ) c k 表示第 k 个硬币的面额，此问题中我们有 n 个硬币可供选择 f(i)=min\{f(i-c_k)+1\}; (1<=k<=n\ and\ i>=c_k) \\c_k表示第k个硬币的面额，此问题中我们有n个硬币可供选择 f(i)=min{f(i−ck​)+1};(1<=k<=n and i>=ck​)ck​表示第k个硬币的面额，此问题中我们有n个硬币可供选择

以第二层橙色方框内的节点为例，F(5)=2,F(4)=2,F(3)=1, 那么最终就有计算结果为2，
F ( 6 ) = m i n { F ( 5 ) + 1 , F ( 4 ) + 1 , F ( 3 ) + 1 } = { 3 , 3 , 2 } = 2 \begin {align} &F(6)\\&=min\{F(5)+1,F(4)+1,F(3)+1\}\\&=\{3,3,2\}\\&=2 \end {align} ​F(6)=min{F(5)+1,F(4)+1,F(3)+1}={3,3,2}=2​​
借此问题，再次回顾动态规划问题的的两大要素，

第一个要素为最优子结构，每个节点都有最优子结构，其最优子结构为三叉树遍历最小值，其它最优子结构一定建立在底层的最优子结构的基础之上的，如果要求F(6)的所需硬币最少个数，那么就需要在F(5)+1,F(4)+1,F(3)+1三个最优子结构当中去寻找。

第二要素为重叠子问题(overlapping subproblem), 对于硬币兑换，重叠子问题显而易见，下图清楚显示子问题的重复。相同颜色和形状的子问题，理解问题重复的子问题，两个橘色矩形框内F(4)表示相同子问题，两个紫色矩形框内的子问题表示相同的子问题。

零钱兑换问题同时满足最优子结构和重叠子问题两大特征，采用动态规划解决问题是自然而然的选择，也是问题解决的最佳方案。

对于动态规划的子问题，要求子问题互相独立，不能形成环（互相依赖，没有递归出口或迭代的起始)，评价子问题是否依赖的有效手段为绘制有向无环图(DAG)，以本问题为例，DAG依赖关系为：

c) 计算递归定义的值(Compute the value of the optimal solution)

计算递归的核心是定义递归的终止条件，如果没有递归的终止条件，那么递归函数就会出现爆栈的错误，无法获得最终的计算值。针对本问题，我们有两个递归的终止条件：

• 如果要兑换的总金额为0，那么所需最少的硬币个数为0
• 如果要兑换的总金额为负值，那么返回-1，由于递归的原因，如果底层返回为负值，那么就不会对相应的最小值进行更新，而且需要每一层都返回负值，表示没有找到合适的零钱组合

具体计算过程中，我们可以用min_value和函数的返回值进行比较，从而求得最少的硬币个数。同时我们可以设定全局变量value[]数组，对所选择的硬币面额进行保存，方便给出最终的解方案。

d) 构建最优问题的解路径/集合(Construct the solution of the optimal problem)

构建最优问题的解路径/集合，本问题我们用全局变量value[]数组进行追踪。

4. 代码实现

首先采用递归+memoization的方式实现动态规划，递归的出口已在 计算递归定义的值的章节中给出了答案，所以只需要给出memoization数组即可。

a)头文件定义

/**
 * @file coins_change.h
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-06
 *
 * @copyright Copyright (c) 2023
 *
 */
#ifndef COINS_CHANGE_H
#define COINS_CHANGE_H
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>
int value[10];

int coins_change(int *coins,int n, int rem);

int coins_change_aux(int *coins, int *count, int n, int rem);

#endif

b) 函数实现

/**
 * @file coins_change.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-06
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef COINS_CHANGE_C
#define COINS_CHANGE_C
#include "coins_change.h"

int coins_change(int *coins, int n, int rem)
{
    int *count;
    int i;

    count=(int *)malloc(sizeof(int)*rem);

    for(i=0;i<rem;i++)
    {
        *(count+i)=INT_MIN;
    }

    return coins_change_aux(coins,count,n,rem);
}

int coins_change_aux(int *coins, int *count, int n, int rem)
{
    int i;
    int min_value;
    int res;

    if(rem<0)
    {
        return -1;
    }

    if(rem==0)  //if the remaining is zero, then return zero coins
    {
        return 0;
    }

    if(count[rem-1]!=INT_MIN)
    {
        return count[rem-1];
    }

    min_value=INT_MAX;

    for(i=0;i<n;i++)
    {
        res=coins_change_aux(coins,count,n,rem-coins[i]);
        // if res==-1, it won't implement the following actions
        if(res>=0 && res<min_value) 
        {
            min_value=res+1; // compare min_value in the different level of tree
            value[res]=coins[i];
        }
    }

    //if min_value equals to INT_MAX, then it indicates there is no solution
    count[rem-1]=(min_value==INT_MAX?-1:min_value);

    return count[rem-1];
}

#endif

c.) 测试函数

/**
 * @file coins_change_main.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-06
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef COINS_CHANGE_MAIN_C
#define COINS_CHANGE_MAIN_C
#include "coins_change.c"
#define N 3

int main(void)
{
    int n;
    int amount;
    int number;
    int coins[N]={1,2,5};

    n=N;
    amount =11;

    number=coins_change(coins,n,amount);
    printf("The minimum number is %d\n",number);

    getchar();
    return EXIT_SUCCESS;

}


#endif

如果采用迭代方式，那么就需要定义迭代前的base值，这个base值多数情况表示空集合或最大集合情况下的dp数组值。本例中，我们定义要兑换的总金额为dp数组的维度，dp[amount+1]储存从0到amount条件下的最小硬币个数，显然dp[0]=0,对于其它的DP[1…amount]我们可以默认其维度为最大金额+1，以方便后续比较。

对于最小硬币个数大于总金额的情况，认为其无法提供最终的方案，因为最小硬币的面额为1，对于硬币个数大于总金额，意思是即使用面值为1的金额，也无法完成兑换。

对于迭代动态规划，可以从空集∅开始，逐步进行叠加，对于本问题，迭代的过程表示为：

代码实现：

/**
 * @file coins_change.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief Coins change will be implemented by iterative method
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-07
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef COINS_CHANGE_C
#define COINS_CHANGE_C
#include "coins_change.h"

int coins_change(int *coins, int **dp, int n, int amount)
{
    //major variable will become to 0 in the fast way
    //other parameter will not change or change in a slow way
    int i;
    int j;
    *dp=(int *)malloc(sizeof(int)*(amount+1));

    for(i=0;i<=amount;i++)
    {
        (*dp)[i]=amount+1;
    }

    (*dp)[0]=0;

    for(i=1;i<=amount;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if(coins[j]<=i)
            {
                (*dp)[i]=min((*dp)[i],(*dp)[i-coins[j]]+1);
            }
        }
    }

    return ((*dp)[amount]>(amount)?-1:(*dp)[amount]);

}

int min(int m, int n)
{
    return (m<n?m:n);
}

#endif

5. 小结

本问题属于经典的动态规划问题，同时满足最优子问题和重叠子树两个条件，而且对于子问题，不存在互相依赖的环(DAG)，我们利用递归和迭代两种方式对问题进行实现和编码。

参考资料：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-487203.html

1. https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/
2. 《Introduction to algorithm, 4ed, 4 edition》

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