阵列流形与阵因子的计算及数字波束形成

1. 阵列的方向图

由相同阵元构成的天线阵列，其方向图由两部分相乘得到，第一部分是阵元的方向图，只与阵元本身有关；第二部分取决于阵元间的电流比及相位差，与阵元本身无关，称为阵因子。不妨令阵列的方向图为$f(\theta ,\varphi )$，则有：
$$f(\theta ,\varphi )=f_0(\theta ,\varphi )f_{arr}(\theta ,\varphi )$$
其中，$f_0(\theta ,\varphi )$为阵元的方向性函数（方向图）；$f_{arr}(\theta ,\varphi )$为阵因子；$\theta$与$\varphi$的定义如下图所示。

在后文的讨论中，将分析$F_{arr}(\theta ,\varphi )$为归一化的阵因子，其满足$F_{arr}(\theta ,\varphi )=\frac{f_{arr}(\theta ,\varphi )}{\max \left[f_{arr}(\theta ,\varphi )\right]}$

2. 理论模型

假设任意阵列中共有$M$个阵元，第$m$个阵元在三维空间中的坐标为${\mathbf{p}}_m={\left[x_m,y_m,z_m\right]}^T$。此外，假设在距离原点$r$，方位角为$\theta$，与$z$轴夹角为$\varphi$的位置存在信号源；信号源向三维空间中辐射的均匀球面波，频率为$f$、波长为$\lambda$。显然，可以得到信号源在三维空间中的坐标为${\mathbf{p}}_s={\left[r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi \right]}^T$；则在第$m$个阵元处接收到的信号可以表示为，
$$s(t,{\mathbf{p}}_m)=e^{j\left[\omega t-{\mathbf{k}}_m\cdot \left({\mathbf{p}}_m-{\mathbf{p}}_s\right)\right]};m=0,1,\cdots ,M-1$$
其中，${\mathbf{k}}_m=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{{\mathbf{p}}_m-{\mathbf{p}}_s}{{\Vert {\mathbf{p}}_m-{\mathbf{p}}_s\Vert }_2}$为波数，其方向表征了电磁波传输的方向；$\left({\mathbf{p}}_m-{\mathbf{p}}_s\right)$的意义在于将信号源平移到坐标系原点后，第$m$个阵元在空间中的坐标。
在绝大多数应用场景中，为便于分析，往往进行“远场”假设，即，
∀ i , j = 0 , 1 , ⋯   , M − 1 , ∥ p i − p j ∥ 2 ≪ r \forall i,j=0,1,\cdots,M-1, \left\Vert \boldsymbol{p}_i - \boldsymbol{p}_j \right\Vert_2 \ll r ∀i,j=0,1,⋯,M−1, ​pi​−pj​ ​2​≪r
在这种情况下，从信号源辐射的均匀球面波可以近似地视为均匀平面波，进而在第$m$个阵元处接收到的信号可以简化为：
$$s(t,{\mathbf{p}}_m)=e^{j\left(\omega t+{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_s-{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_m\right)};m=0,1,\cdots ,M-1$$
其中，若第$0$个阵元放置在原点，则有，
$${\mathbf{k}}_0=-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{{\mathbf{p}}_s}{{\Vert {\mathbf{p}}_s\Vert }_2}=-\frac{2\pi }{\lambda }{\left[\sin \varphi \cos \theta ,\sin \varphi \sin \theta ,\cos \varphi \right]}^T$$

3. 阵列流形与阵因子的计算

值得说明的是，阵列信号处理考察的是在特定的采样时间$t_0$，不同阵元接收到的数据，称之为“快拍”。 假设阵列中各个阵元的激励幅度相同，当空间中存在$i$个信号源，且其幅度分别为 { A i ∣ i = 1 , 2 , ⋯   } \left\{ A_i \left| i=1,2,\cdots \right. \right\} {Ai​∣i=1,2,⋯}时，则在$t_0$时刻，阵列接收的快拍数据可以表示为：
$$\mathbf{x}=e^{j\left(\omega t_0+{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_s\right)}\sum _i{A}_i\mathbf{a}({\theta }_i,{\varphi }_i)$$
其中，$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )=[e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_0},e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_1},\cdots ,e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_{M-1}}{]}^T$即为阵列流形。同时，阵因子可以通过阵列流形计算获得，即
$$\begin{array}{rl}{f}_{arr}(\theta ,\varphi )& =\Vert \mathbf{a}(\theta ,\varphi ){\Vert }_1\\ & =\sum _{m=0}^{M-1}{e}^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_m}\end{array}$$
值得说明的是，本文假设阵列中各个阵元的激励幅度相同；在激励幅度不同的情况下，可以在$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )$中的各个元素前增加权重进行计算。

4. 典型阵列的数字波束形成与MATLAB仿真

数字波束形成的关键在于正确地设置阵列流形，前文我们阐述了其一般形式，即
$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )=[e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_0},e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_1},\cdots ,e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_{M-1}}{]}^T$$
换言之，阵列流形中的第$m$个元素可以表示为：
$${\left[\mathbf{a}(\theta ,\varphi )\right]}_m=e^{-j{\mathbf{k}}_0\cdot {\mathbf{p}}_m}=e^{\frac{j2\pi \left(x_m\sin \varphi \cos \theta +y_m\sin \varphi \sin \theta +z_m\cos \varphi \right)}{\lambda }}$$
依据上式，可以对任意阵列进行波束形成，相关的性能参数由阵列的排布决定。

下面，本节将结合具体的阵列形式，给出仿真MATLAB仿真结果。在仿真中采用相同的信号源，该信号源向空间中辐射高频段的电磁波，其频率$f=15MHz$，波长$\lambda =20m$；在三维空间中，其矢径为$r=1000km$，方位角为$\varphi =45^{\circ }$，仰角为$90^{\circ }-\theta =45^{\circ }$。

4.1 均匀直线阵列

不妨令阵元数量$M=30$，阵元间距$d=8m$，各个阵元沿$x$轴分布，则第$m$个阵元的坐标可以表示为：
$${\mathbf{p}}_m={\left[md,0,0\right]}^T;m=0,1,\cdots ,M-1$$
因此，均匀直线阵列的阵列流形可以表示为：
$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )={\left[1,e^{\frac{j2\pi d\sin \theta \cos \varphi }{\lambda }},\cdots ,e^{\frac{j2\pi (M-1)d\sin \theta \cos \varphi }{\lambda }}\right]}^T$$

(1) 本文在三维坐标系中推导均匀直线阵列的阵列流形；而现有文献大多在二维坐标系中推导均匀直线阵列的阵列流形，故不需要考虑仰角，因而在大多数资料中没有$\cos \varphi$这一项；

(2) 均匀直线阵列仅有一维的角度分辨能力，在三维空间中，为了获得正确的方位角，需要利用$\cos \varphi$将二维平面从$xOy$平面转化到“信号源与均匀直线阵列各个阵元所在的平面”。反之，若在阵列流形中没有设置正确的仰角，将会导致方位角的估计错误；

(3) 不难发现$\cos \varphi =\cos (-\varphi )$，故均匀直线阵列会出现测角模糊的问题，其不模糊的测角范围是$\left[0^{\circ },180^{\circ }\right]$。

(a) 从均匀直线阵列的仿真结果可知，当在仰角为$45^{\circ }$处进行波束形成时，可以在正确的方位上（$45^{\circ }$）获得峰值；当在仰角为$0^{\circ }$处进行波束形成时，估计的方位为$60^{\circ }$，与结果显然不符；进而说明在三维空间中，即便没有仰角分辨能力，均匀直线阵列的阵列流形仍然需要考虑仰角。
(b) 在均匀直线阵列的仿真结果中，在仰角维度的波瓣极宽，说明均匀直线阵列没有仰角分辨能力。

4.2 均匀矩形阵列

假设均匀矩形阵列共有$M_x=30$行，$M_y=30$列阵元；在每一行，阵元间距$d_x=8m$；在每一列，阵元间距$d_y=8m$，则第$i$行、第$j$列的阵元的坐标可以表示为：
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{p}}_{ij}={\left[i{d}_x,j{d}_y,0\right]}^T\\ & i=0,1,\cdots ,M_x-1;j=0,1,\cdots ,M_y-1\end{array}$$
若按$j\otimes i$的形式向量化阵列排布，则均匀矩形阵列的阵列流形可以表示为：
$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )={\mathbf{a}}_y(\theta ,\varphi )\otimes {\mathbf{a}}_x(\theta ,\varphi )$$
其中，$\otimes$为克罗内克积，
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_x(\theta ,\varphi )& ={\left[1,e^{\frac{j2\pi d_x\sin \theta \cos \varphi }{\lambda }},\cdots ,e^{\frac{j2\pi (M_x-1)d_x\sin \theta \cos \varphi }{\lambda }}\right]}^T\\ {\mathbf{a}}_y(\theta ,\varphi )& ={\left[1,e^{\frac{j2\pi d_y\sin \theta \sin \varphi }{\lambda }},\cdots ,e^{\frac{j2\pi (M_y-1)d_y\sin \theta \sin \varphi }{\lambda }}\right]}^T\end{array}$$

(a) 不难发现，均匀矩形阵列具有方位角、仰角的二维分辨能力，且均匀矩形阵列在$[0^{\circ },360^{\circ }]$的方位角范围内，不会出现测角模糊。

4.3 均匀圆形阵列

假设均匀圆形阵列共有$M=96$个阵元，阵列半径为$R=120m$，阵列圆心位于原点，则第$m$个阵元的坐标可以表示为：
$${\mathbf{p}}_m={\left[R\cos \frac{2\pi m}{M},R\cos \frac{2\pi m}{M},0\right]}^T;m=0,1,\cdots ,M-1$$
因此，均匀圆形阵列的阵列流形可以表示为：
$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )={\left[1,e^{\frac{j2\pi dR\left(\cos \frac{2\pi }{M}\sin \varphi \cos \theta +\cos \frac{2\pi }{M}\sin \varphi \sin \theta \right)}{\lambda }},\cdots ,e^{\frac{j2\pi dR\left[\cos \frac{2\pi (M-1)}{M}\sin \varphi \cos \theta +\cos \frac{2\pi (M-1)}{M}\sin \varphi \sin \theta \right]}{\lambda }}\right]}^T$$

(a) 不难发现，均匀圆形阵列具有方位角、仰角的二维分辨能力，且均匀矩形阵列在$[0^{\circ },360^{\circ }]$的方位角范围内，不会出现测角模糊。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-489977.html

5. MATLAB仿真程序源码

%% Author：ZLY
clearvars;
close all;
clc;
%% 信号为单频正弦信号
global c;
global f0;
global lambda;
global t;
global N;
global TxLoc;

c = 3e8;
f0 = 15e6;              % 载波频率
lambda = c / f0;    % 波长
fs = 4 * f0;              % 采样频率
N = 1024;               % 采样点数
t = (0:N-1).' / fs;    % 采样时刻

x = exp(1j * 2 * pi * f0 * t);  % 单频信号
%% 信号源位于远场
% 1、阵元间距 < lambda / 2
% 2、阵列孔径 v.s. 角度分辨力
% TxLoc = [1000e3, 1000e3, 245.5756e3];                       % 远场源，以正北为参照方位角45°，仰角10°（常见的情况）
TxLoc = [1000e3, 1000e3, sqrt(2) * 1000e3];           % 远场源，以正北为参照方位角45°，仰角45°（夸张的情况）
arrayType = 3;
switch arrayType
    case 1
        ULA();
    case 2
        URA();
    case 3
        UCA();
end
%% 均匀线阵的情况
function ULA()

    global c;
    global N;
    global f0;
    global lambda;
    global t;
    global TxLoc;
    
    d = 8;
    M = 30;
    RxLoc = [ d * (0:M-1).', zeros(M, 2)];

    % 生成接收信号，N个快拍的数据
    y = zeros(N, M);
    for ii = 1:M
        tau = norm( RxLoc(ii,:) - TxLoc ) / c;
        y(:,ii) = exp(1j * 2 * pi * f0 * (t - tau));
    end

    % 波束形成
    k = 2 * pi / lambda;
    phi = ( 0 : 359 ) / 180 * pi;            % 与x轴夹角
    theta = ( 90:-1:0 ) / 180 * pi;         % 与z轴夹角
    
    
    DBF = zeros(length(phi), length(theta));
    for ii = 1:length(phi)
        for jj = 1:length(theta)
            a = exp( 1j * k * (0 : M - 1) * d * cos ( phi(ii) ) * sin( theta(jj) ) ).';
            DBF(ii,jj) = sum( abs( y * conj(a) ), 1 );
        end
    end
    
    DBF = DBF ./ max(abs(DBF), [], 'all');
    figure(1);
    mesh(90 - theta / pi * 180, phi / pi * 180, db(DBF));
    xlabel('俯仰角'); ylabel('方位角'); 
    colormap jet; colorbar; view(2);
    axis tight; set(gca, 'CLim', [-40, 0]);
    title('ULA');
    
end

%% 均匀矩形阵列的情况
function URA()

    global c;
    global N;
    global f0;
    global lambda;
    global t;
    global TxLoc;
    
    dx = 8;
    Mx = 30;
    dy = 8;
    My = 30;
    RxLoc = zeros(Mx * My, 3);
    for ii = 1:Mx
        for jj = 1:My
            RxLoc( (ii - 1) * My + jj, :) = [(ii - 1) * dx, (jj - 1) * dy, 0];
        end
    end
    
    % 生成接收信号，N个快拍的数据
    y = zeros(N, Mx * My);
    for ii = 1:Mx * My
        tau = norm( RxLoc(ii,:) - TxLoc ) / c;
        y(:,ii) = exp(1j * 2 * pi * f0 * (t - tau));
    end

    % 波束形成
    k = 2 * pi / lambda; 
    phi = ( 0 : 359 ) / 180 * pi;            % 与x轴夹角
    theta = ( 90:-1:0 ) / 180 * pi;         % 与z轴夹角
    
    DBF = zeros(length(phi), length(theta));
    for ii = 1:length(phi)
        for jj = 1:length(theta)

            ax = exp( 1j * k * (0 : Mx - 1) * dx * cos( phi(ii) ) * sin( theta(jj) ) ).';
            ay = exp( 1j * k * (0 : My - 1) * dy * sin( phi(ii) ) * sin( theta(jj) ) ).';
            a = kron( ay, ax );
            DBF(ii,jj) = sum( abs( y * conj(a) ), 1 );
        end
    end
    
    DBF = DBF ./ max(abs(DBF), [], 'all');
    figure(2);
    mesh(90 - theta / pi * 180, phi / pi * 180, db(DBF));
    xlabel('俯仰角'); ylabel('方位角'); 
    colormap jet; colorbar; view(2);
    axis tight; set(gca, 'CLim', [-40, 0]);
    title('URA');
    
end

%% 均匀圆形阵列
function UCA()

    global c;
    global N;
    global f0;
    global lambda;
    global t;
    global TxLoc;
    
    M = 96;     % 96个阵元
    R = 120;     % 半径120m
    
    RxLoc = zeros(M, 3);
    for ii = 1:M
        alpha = (ii - 1) * 2 * pi / M ;
        RxLoc(ii,:) = [R * cos(alpha), R * sin(alpha), 0];
    end
    
    % 生成接收信号，N个快拍的数据
    y = zeros(N, M);
    for ii = 1:M
        tau = norm( RxLoc(ii,:) - TxLoc ) / c;
        y(:,ii) = exp(1j * 2 * pi * f0 * (t - tau));
    end

    % 波束形成
    k = 2 * pi / lambda; 
    phi = ( 0 : 359 ) / 180 * pi;            % 与x轴夹角
    theta = ( 90:-1:0 ) / 180 * pi;         % 与z轴夹角
    
    DBF = zeros(length(phi), length(theta));
    for ii = 1:length(phi)
        for jj = 1:length(theta)
            
            xm = R * cos( (0: M - 1) * 2 * pi / M ).';
            ym = R * sin( (0: M - 1) * 2 * pi / M ).';
            
            a = exp(1j * k * ( xm * cos(phi(ii)) * sin(theta(jj)) + ym * sin(phi(ii)) * sin(theta(jj)) ) );
            DBF(ii,jj) = sum( abs( y * conj(a) ), 1 );
        end
    end
    
    DBF = DBF ./ max(abs(DBF), [], 'all');
    figure(3);
    mesh(90 - theta / pi * 180, phi / pi * 180, db(DBF));
    xlabel('俯仰角'); ylabel('方位角'); 
    colormap jet; colorbar; view(2);
    axis tight; set(gca, 'CLim', [-40, 0]);
    title('UCA');
   
end

到了这里，关于阵列流形与阵因子的计算及数字波束形成的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！