参考博客
假设两个独立变量服从同一指数分布:
X
,
Y
∼
exp
(
λ
)
X,Y \sim \text{exp}(\lambda)
X,Y∼exp(λ)
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y，则Z的累积分布函数可表示为
F
Z
(
z
)
=
P
r
(
Z
≤
z
)
=
P
r
(
X
+
Y
≤
z
)
F_Z(z)=Pr(Z \leq z)=Pr(X+Y \leq z)
FZ(z)=Pr(Z≤z)=Pr(X+Y≤z)
因此，有：
F
Z
(
z
)
=
∫
0
z
∫
0
z
−
x
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
d
y
d
x
=
∫
0
z
∫
0
z
−
x
λ
e
−
λ
x
λ
e
−
λ
y
=
∫
0
z
λ
e
−
λ
x
(
−
1
λ
)
(
e
−
λ
(
z
−
x
)
−
e
0
)
d
x
=
−
λ
∫
0
z
e
−
λ
z
−
e
−
λ
x
d
x
=
−
λ
(
z
e
−
λ
z
+
1
λ
e
−
λ
z
−
1
λ
)
=
−
λ
z
e
−
λ
z
−
e
−
λ
z
+
1
\begin{aligned} F_Z(z)&=\int_0^z\int_0^{z-x}f_X(x)f_Y(y)dydx \\ & = \int_0^z\int_0^{z-x}\lambda e^{-\lambda x} \lambda e^{-\lambda y} \\ & = \int_0^z \lambda e^{-\lambda x} (-\frac{1}\lambda)(e^{-\lambda (z-x)}-e^0) dx\\ & =-\lambda \int_0^z e^{-\lambda z}-e^{-\lambda x} dx\\ & =-\lambda(ze^{-\lambda z}+\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda z}-\frac{1}{\lambda} )\\ &=-\lambda ze^{-\lambda z}-e^{-\lambda z}+1 \end{aligned}
FZ(z)=∫0z∫0z−xfX(x)fY(y)dydx=∫0z∫0z−xλe−λxλe−λy=∫0zλe−λx(−λ1)(e−λ(z−x)−e0)dx=−λ∫0ze−λz−e−λxdx=−λ(ze−λz+λ1e−λz−λ1)=−λze−λz−e−λz+1
对
F
Z
(
z
)
F_Z(z)
FZ(z)求导即可得到
Z
Z
Z的概率密度函数
f
Z
(
z
)
=
d
F
Z
(
z
)
d
z
=
λ
2
z
e
−
λ
z
f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=\lambda ^2 ze^{-\lambda z}
fZ(z)=dzdFZ(z)=λ2ze−λz
拓展一下，用到了分部积分和洛必达法则
E
[
Z
]
=
∫
0
∞
z
f
Z
(
z
)
d
z
=
∫
0
∞
λ
2
z
2
e
−
λ
z
d
z
=
−
λ
z
2
e
−
λ
z
∣
0
∞
+
∫
0
∞
λ
2
z
e
−
λ
z
d
z
=
−
λ
(
0
−
0
)
+
2
∫
0
∞
−
z
d
(
e
−
λ
z
)
=
2
(
−
z
)
e
−
λ
z
∣
0
∞
+
2
∫
0
∞
e
−
λ
z
d
z
=
0
+
2
λ
=
2
λ
\begin{aligned} E[Z] &=\int_0^\infty zf_Z(z)dz \\ & = \int_0^\infty \lambda ^2 z^2e^{-\lambda z}dz \\ & = -\lambda z^2 e^{-\lambda z}|_0^\infty + \int_0^\infty \lambda 2z e^{-\lambda z}dz \\ &= -\lambda (0-0)+2{\int_0^\infty -z d(e^{-\lambda z})} \\ &=2(-z) e^{-\lambda z}|_0^\infty+2\int_0^\infty e^{-\lambda z} dz \\ &= 0+ \frac{2}{\lambda} \\ &= \frac{2}{\lambda} \end{aligned}
E[Z]=∫0∞zfZ(z)dz=∫0∞λ2z2e−λzdz=−λz2e−λz∣0∞+∫0∞λ2ze−λzdz=−λ(0−0)+2∫0∞−zd(e−λz)=2(−z)e−λz∣0∞+2∫0∞e−λzdz=0+λ2=λ2
此时，突然想起，
E
[
X
]
=
E
[
Y
]
=
1
λ
E[X]=E[Y]=\frac{1}{\lambda}
E[X]=E[Y]=λ1，
Z
Z
Z好像是服从Gamma分布，概率论东西快忘光了。。
参考Gamma分布博客
u是个变量，
U
∼
G
(
α
,
β
)
U \sim G(\alpha,\beta)
U∼G(α,β)，为了和上述变量分开（不得不起了个不顺口的名字）。
f
(
u
;
α
,
β
)
=
β
α
u
α
−
1
Γ
(
α
)
exp
(
−
β
u
)
f(u;\alpha,\beta)=\frac{\beta ^\alpha u^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\text{exp}(-\beta u)
f(u;α,β)=Γ(α)βαuα−1exp(−βu)
均值和方差分别为
E
[
U
]
=
α
β
E[U]=\frac{\alpha}{\beta}
E[U]=βα
D
[
U
]
=
α
β
2
D[U]=\frac{\alpha}{\beta^2}
D[U]=β2α
已知指数分布、卡方分布是特殊的Gamma分布，所以
X
,
Y
∼
exp
(
λ
)
X,Y \sim \text{exp}(\lambda)
X,Y∼exp(λ)可以写成
X
,
Y
∼
G
(
1
,
λ
)
X,Y \sim G(1,\lambda)
X,Y∼G(1,λ)，
Z
∼
G
(
2
,
λ
)
Z \sim G(2,\lambda)
Z∼G(2,λ)。
D
[
Z
]
=
2
λ
2
D[Z]=\frac{2}{\lambda ^2}
D[Z]=λ22文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-490241.html
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