层次分析法(AHP)
1.算法简述与原理分析
层次分析法是一种主观赋值评价方法也是一个多指标综合评价算法,常用于综合评价类模型。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多个层次,并在此基础上进行定性和定量分析,是一种简单、实用的算法。
原理:是在分析一个现象或问题之前,首先将现象或问题根据他们的性质分解为相关因素,并依据因素之间的关系形成一个多层次的结构模型。然后通过经验或专家来判断低层元素对高层元素的相对重要性,并根据重要性的程度得出权重排序。
2.AHP层次分析法过程
层次分析法进行建模,大致分为以下四步:
1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。
2.对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较,构造两两比 较矩阵(判断矩阵)。
3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验(检验通过权重才能用)。
4.填充权重矩阵,根据矩阵计算得分,得出结果。
2.1构建层次结构模型
即将所有相关因素分为目标层、准则层和方案层
2.2构造判断矩阵
即把准则层的指标进行两两判断,确定各准则层对目标层的权重
对于准则层A我们可以构建:
q其中A中的元素满足:
w
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
∑
k
=
1
n
a
k
j
,
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
…
…
…
…
…
(
2
)
{w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2)
wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………(2)
矩阵里面写什么简单来说就是假如有三个元素A、B、C,A和B相比A重要多少,A比C中要多少,B比C中要多少,这个“多少”我们通常使用Santy的1-9标度方法给出,即:
2.3层次单排序
大白话说一下,就是求解各个指标的权重。计算方法有三种:算数平均法、几何平均法和特征值法。(小tips:在实际建模中,不同的计算方法可能会导致结果有所偏差,为了保证结果的稳健性,可以采用多种方法分别对权值进行求解,避免单一方法所需产生的误差,使得出的结论更全面有效。)
举个栗子,这是一个判断矩阵。
2.3.1方法1:算术平均法求权重
Step1:将判断矩阵按照列归一化(每个元素除以其所在列的和,如1/(1+1/2+1/4)=0.5882)
Step2:将归一化的列相加(按行求和)
Step3:将相加后的每个元素除以n即可得到对应的权重向量
转换为数学公式就是:
w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2) wi=n1j=1∑nk=1∑nakjaij,(i=1,2,…,n)……………(2)
2.3.2方法2:几何平均法求权重(又叫方根法)
举个栗子:
Step1:计算每行乘积的m次方,得到一个m维向量
景色: 1 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1 3 ∗ 8 5 = 2.3162 \sqrt[5]{{1*5*5*\frac{1}{3}*8}} = 2.3162 51∗5∗5∗31∗8=2.3162
费用: 1 5 ∗ 1 ∗ 1 4 ∗ 1 6 ∗ 2 5 = 0.4409 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*1*\frac{1}{4}*\frac{1}{6}*2}} = 0.4409 551∗1∗41∗61∗2=0.4409
居住: 1 5 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 1 5 ∗ 3 5 = 0.8635 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*4*1*\frac{1}{5}*3}} = 0.8635 551∗4∗1∗51∗3=0.8635
饮食: 3 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 6 5 = 3.5195 \sqrt[5]{{3*6*5*1*6}} = 3.5195 53∗6∗5∗1∗6=3.5195
旅途: 1 8 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ 1 6 ∗ 1 5 = 0.3222 \sqrt[5]{{\frac{1}{8}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{6}*1}} = 0.3222 581∗21∗31∗61∗1=0.3222
Step2:把向量标准化即为权重向量,即得到权重
设SUM=2.3162+0.4409+0.8635+3.5195+0.3222
则 景色:2.3162/SUM=0.3104
费用:0.4409/SUM=0.0591
居住:0.8635/SUM=0.1157
饮食:3.5195/SUM=0.4716
旅途:0.3222/SUM
转换为数学公式为:
w
i
‾
=
∏
j
=
1
m
a
i
j
m
…
…
…
…
(
1
)
\overline {{w_i}} = \sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} }}…………(1)
wi=mj=1∏maij…………(1)
w i = w i ‾ ∑ j = 1 m w j ‾ … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{{\overline {{w_i}} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\overline {{w_j}} } }}…………(2) wi=∑j=1mwjwi…………(2)
2.3.3方法3:特征值法求权重
一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。特征值为n时,对应的特征向量刚好为:
k
[
1
a
11
,
1
a
12
,
…
,
1
a
1
n
]
T
(
k
≠
0
)
k{\left[ {\frac{1}{{{a_{11}}}},\frac{1}{{{a_{12}}}}, \ldots ,\frac{1}{{{a_{1n}}}}} \right]^T}(k \ne 0)
k[a111,a121,…,a1n1]T(k=0)
那么我们直接可以将特征向量归一化即可求得权重向量。
2.4一致性检验
2.4.1求解最大特征值
求得权重矩阵后,可以计算最大特征跟,公式为:
λ
max
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
A
W
)
i
W
i
{\lambda _{\max }} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{(AW)}_i}}}{{{W_i}}}}
λmax=n1i=1∑nWi(AW)i
其中n为维度数,例如之前我们举得例子因素为景色、费用、居住、饮食、旅途时,n=5。AW为:判断矩阵*标准化后的权重,然后按行的累加值。
还是举个栗子:
判断矩阵A为:
标准化权重W为:
其中A*W为:(就是对应位置相乘)
AW的值就是按行相加。
则最大特征值为:
λ
max
=
x
/
n
=
5.416
{\lambda _{\max }} = x/n = 5.416
λmax=x/n=5.416
其中,x=AW1/W1+AW2/W2+…+AWn/Wn。n为矩阵阶数。
2.4.2求解CI、RI、CR值,判断一致性是否通过
Step1:一致性指标CI值的求解公式为:
C
I
=
λ
max
−
n
n
−
1
CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}}
CI=n−1λmax−n
将2.4.1的例子代入可得CI=0.1042
Step2:平均随机一致性指标RI值是通过查表得出来的:
将2.4.1的例子代入可得RI=1.12
Step3:计算一致性比例CR:
C
R
=
C
I
/
R
I
CR=CI/RI
CR=CI/RI
将Step1和Step2的计算结果代入可得CR=0.093
Step4:判断是否通过一致性检验:
CR<0.1 时,表明判断矩阵 A 的一致性程度被认为在容许的范围内,此时可用 A 的特征向量开展权向量计算;若 C.R.≥0.1, 说明我们在构建判断矩阵时出现了逻辑错误,需要重新构建判断矩阵。如例题中CR=0.093<0.1,则视为检验合格。
Matlab实现代码(只需要替换判断矩阵即可)
A=[1 2 3 4 5;1/2 1 2 3 4;1/3 1/2 1 2 3;1/4 1/3 1/2 1 2;1/5 1/4 1/3 1/2 1];
%disp('请输入准则层判断矩阵A(n阶)');
%A=input('A=');
[n,n]=size(A);
Sum_A=sum(A);
SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A=A./SUM_A;
disp('算术平均法求权重的结果为:')
disp(sum(Stand_A,2)./n);
Prduct_A=prod(A,2);
Prduct_n_A=Prduct_A.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:')
disp(Prduct_n_A./sum(Prduct_n_A));
[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
%求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
if D(h,h)>tempNum
tempNum=D(h,h);
pos=h;
end
end
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);
t=D(pos,pos);
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败,请重新进行评分!');
end
disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败,请重新进行评分!');
end
disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end
.
.
.
.
.
.文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-490314.html
参考文章:https://mpaidata.blog.csdn.net/article/details/122081827文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-490314.html
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