层次分析法(AHP)详解+完整代码

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层次分析法(AHP)

1.算法简述与原理分析

​ 层次分析法是一种主观赋值评价方法也是一个多指标综合评价算法,常用于综合评价类模型。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多个层次,并在此基础上进行定性和定量分析,是一种简单、实用的算法。

​ 原理:是在分析一个现象或问题之前,首先将现象或问题根据他们的性质分解为相关因素,并依据因素之间的关系形成一个多层次的结构模型。然后通过经验或专家来判断低层元素对高层元素的相对重要性,并根据重要性的程度得出权重排序。

2.AHP层次分析法过程

层次分析法进行建模,大致分为以下四步:

1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。
2.对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较,构造两两比 较矩阵(判断矩阵)。
3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验(检验通过权重才能用)。
4.填充权重矩阵,根据矩阵计算得分,得出结果。
层次分析法(AHP)详解+完整代码

2.1构建层次结构模型

即将所有相关因素分为目标层、准则层和方案层

层次分析法(AHP)详解+完整代码

2.2构造判断矩阵

即把准则层的指标进行两两判断,确定各准则层对目标层的权重

对于准则层A我们可以构建:
层次分析法(AHP)详解+完整代码

q其中A中的元素满足:
w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2) wi=n1j=1nk=1nakjaij,(i=1,2,,n)……………2
矩阵里面写什么简单来说就是假如有三个元素A、B、C,A和B相比A重要多少,A比C中要多少,B比C中要多少,这个“多少”我们通常使用Santy的1-9标度方法给出,即:

层次分析法(AHP)详解+完整代码

2.3层次单排序

大白话说一下,就是求解各个指标的权重。计算方法有三种:算数平均法、几何平均法和特征值法。(小tips:在实际建模中,不同的计算方法可能会导致结果有所偏差,为了保证结果的稳健性,可以采用多种方法分别对权值进行求解,避免单一方法所需产生的误差,使得出的结论更全面有效。)

举个栗子,这是一个判断矩阵。

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2.3.1方法1:算术平均法求权重

Step1:将判断矩阵按照列归一化(每个元素除以其所在列的和,如1/(1+1/2+1/4)=0.5882)

层次分析法(AHP)详解+完整代码

Step2:将归一化的列相加(按行求和)

层次分析法(AHP)详解+完整代码

Step3:将相加后的每个元素除以n即可得到对应的权重向量

层次分析法(AHP)详解+完整代码

转换为数学公式就是:

层次分析法(AHP)详解+完整代码

w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………(2) wi=n1j=1nk=1nakjaij,(i=1,2,,n)……………2

2.3.2方法2:几何平均法求权重(又叫方根法)

举个栗子:

层次分析法(AHP)详解+完整代码

Step1:计算每行乘积的m次方,得到一个m维向量

景色: 1 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1 3 ∗ 8 5 = 2.3162 \sqrt[5]{{1*5*5*\frac{1}{3}*8}} = 2.3162 5155318 =2.3162

费用: 1 5 ∗ 1 ∗ 1 4 ∗ 1 6 ∗ 2 5 = 0.4409 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*1*\frac{1}{4}*\frac{1}{6}*2}} = 0.4409 551141612 =0.4409

居住: 1 5 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 1 5 ∗ 3 5 = 0.8635 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}*4*1*\frac{1}{5}*3}} = 0.8635 55141513 =0.8635

饮食: 3 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 6 5 = 3.5195 \sqrt[5]{{3*6*5*1*6}} = 3.5195 536516 =3.5195

旅途: 1 8 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ 1 6 ∗ 1 5 = 0.3222 \sqrt[5]{{\frac{1}{8}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{6}*1}} = 0.3222 5812131611 =0.3222

Step2:把向量标准化即为权重向量,即得到权重

设SUM=2.3162+0.4409+0.8635+3.5195+0.3222

则 景色:2.3162/SUM=0.3104

​ 费用:0.4409/SUM=0.0591

​ 居住:0.8635/SUM=0.1157

​ 饮食:3.5195/SUM=0.4716

​ 旅途:0.3222/SUM

转换为数学公式为:
w i ‾ = ∏ j = 1 m a i j m … … … … ( 1 ) \overline {{w_i}} = \sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} }}…………(1) wi=mj=1maij …………1

w i = w i ‾ ∑ j = 1 m w j ‾ … … … … ( 2 ) {w_i} = \frac{{\overline {{w_i}} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\overline {{w_j}} } }}…………(2) wi=j=1mwjwi…………2

2.3.3方法3:特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为n,其余特征值均为0。特征值为n时,对应的特征向量刚好为:
k [ 1 a 11 , 1 a 12 , … , 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) k{\left[ {\frac{1}{{{a_{11}}}},\frac{1}{{{a_{12}}}}, \ldots ,\frac{1}{{{a_{1n}}}}} \right]^T}(k \ne 0) k[a111,a121,,a1n1]T(k=0)
那么我们直接可以将特征向量归一化即可求得权重向量。

2.4一致性检验

2.4.1求解最大特征值

求得权重矩阵后,可以计算最大特征跟,公式为:
λ max ⁡ = 1 n ∑ i = 1 n ( A W ) i W i {\lambda _{\max }} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{(AW)}_i}}}{{{W_i}}}} λmax=n1i=1nWi(AW)i
其中n为维度数,例如之前我们举得例子因素为景色、费用、居住、饮食、旅途时,n=5。AW为:判断矩阵*标准化后的权重,然后按行的累加值。

还是举个栗子:

判断矩阵A为:

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标准化权重W为:

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其中A*W为:(就是对应位置相乘)
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AW的值就是按行相加。

则最大特征值为:
λ max ⁡ = x / n = 5.416 {\lambda _{\max }} = x/n = 5.416 λmax=x/n=5.416
其中,x=AW1/W1+AW2/W2+…+AWn/Wn。n为矩阵阶数。

2.4.2求解CI、RI、CR值,判断一致性是否通过

Step1:一致性指标CI值的求解公式为:
C I = λ max ⁡ − n n − 1 CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}} CI=n1λmaxn
将2.4.1的例子代入可得CI=0.1042

Step2:平均随机一致性指标RI值是通过查表得出来的:
层次分析法(AHP)详解+完整代码

将2.4.1的例子代入可得RI=1.12

Step3:计算一致性比例CR:
C R = C I / R I CR=CI/RI CR=CI/RI
将Step1和Step2的计算结果代入可得CR=0.093

Step4:判断是否通过一致性检验:

CR<0.1 时,表明判断矩阵 A 的一致性程度被认为在容许的范围内,此时可用 A 的特征向量开展权向量计算;若 C.R.≥0.1, 说明我们在构建判断矩阵时出现了逻辑错误,需要重新构建判断矩阵。如例题中CR=0.093<0.1,则视为检验合格。

Matlab实现代码(只需要替换判断矩阵即可)


A=[1 2 3 4 5;1/2 1 2 3 4;1/3 1/2 1 2 3;1/4 1/3 1/2 1 2;1/5 1/4 1/3 1/2 1];
%disp('请输入准则层判断矩阵A(n阶)');
%A=input('A=');
[n,n]=size(A);

Sum_A=sum(A);
SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A=A./SUM_A;
disp('算术平均法求权重的结果为:')
disp(sum(Stand_A,2)./n);

Prduct_A=prod(A,2);
Prduct_n_A=Prduct_A.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:')
disp(Prduct_n_A./sum(Prduct_n_A));


[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
            %求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
    if D(h,h)>tempNum
        tempNum=D(h,h);
        pos=h;
    end
end    
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);
t=D(pos,pos);
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);
         %以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败,请重新进行评分!');
end


disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
    disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败,请重新进行评分!');
end


disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
    disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end

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.

参考文章:https://mpaidata.blog.csdn.net/article/details/122081827文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-490314.html

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