素理想
设 R R R是一个环， I I I是 R R R的理想，若 a b ∈ I ⇒ a ∈ I ab\in I \Rightarrow a \in I ab∈I⇒a∈I 或 b ∈ I b \in I b∈I ，则称 I I I是素理想。
例：
整数环 < p > <p> <p>（由元素p生成的主理想），
若p是素数，且 a b ∈ < p > ab \in \ <p> ab∈ <p>，则 p ∣ a b p | ab p∣ab ， p ∣ a 或 p ∣ b ⇒ a ∈ < p > 或 b ∈ < p > ⇒ < p > p|a 或p|b \Rightarrow a \in \ <p> \ 或 \ b \in <p> \Rightarrow <p> p∣a或p∣b⇒a∈ <p> 或 b∈<p>⇒<p> 是素理想。
性质
1）交换幺环中素理想的刻画
- 若R是交换幺环，I是R的理想，且 I ≠ R I \neq R I=R，则 I I I是 R R R的素理想 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R / I R/I R/I是整环。
- 推论：交换幺环R是整环当且仅当 { 0 } \{0\} {0}是素理想
极大理想
M是环R的理想，若 M ≠ R M \neq R M=R，且不存在R的真理想N，使得 M ⊂ N , M ≠ N M \subset N, M \neq N M⊂N,M=N，则称M是极大理想。
例：
整数环Z, < p > ， p <p>，p <p>，p是素数， < p > <p> <p>是素理想的同时也是极大理想。
R是域， { 0 } \{0\} {0}是域R的极大理想，事实上，设N是R的理想，且 N ≠ { 0 } N\neq \{0\} N={0}，则存在 a ∈ N 且 a ≠ 0 ⇒ a − 1 a = 1 ∈ N ⇒ ∀ b ∈ R , b = b ⋅ 1 ∈ N ⇒ R = N a \in N 且 a \neq 0 \Rightarrow a^{-1}a =1 \in N \Rightarrow \forall b \in R, b=b \cdot 1 \in N \Rightarrow R = N a∈N且a=0⇒a−1a=1∈N⇒∀b∈R,b=b⋅1∈N⇒R=N
性质
1）设R是交换幺环，M为R的极大理想，当且仅当R/M是域。
2）推论：交换幺环R的极大理想一定是素理想。
I
→
R
的
极
大
理
想
⇔
R
/
I
是
域
⇔
R
/
I
是
整
环
⇔
I
是
素
理
想
I \rightarrow R的极大理想 \Leftrightarrow R/I是域 \Leftrightarrow R/I是整环 \Leftrightarrow I是素理想
I→R的极大理想⇔R/I是域⇔R/I是整环⇔I是素理想
3）
f
f
f是交换幺环
R
R
R到
R
′
R'
R′的满同态，
M
M
M是
R
R
R中包含
k
e
r
f
kerf
kerf的素（极大）理想，则
f
(
M
)
f(M)
f(M)是
R
′
R'
R′中素（极大）理想
唯一析因环
设R为整环，用 U U U表示幺半群 R ∗ = R − { 0 } R^* = R-\{0\} R∗=R−{0} 中的可逆元的集合，则 U U U是交换群，称为 R R R的单位群， U U U中的元素称为单位。单位元一定是单位，1，-1都是单位。
例：
集合 Z [ − 1 ] = { a + b − 1 ∣ a , b ∈ Z } Z[\sqrt{-1}] = \{a+b\sqrt{-1} | a,b \in Z\} Z[−1]={a+b−1∣a,b∈Z}定义加法和乘法 ⇒ \Rightarrow ⇒ Z [ − 1 ] Z[\sqrt{-1}] Z[−1]是整环 ⇒ \Rightarrow ⇒ 1 , − 1 , − 1 , − − 1 1,-1,\sqrt{-1},-\sqrt{-1} 1,−1,−1,−−1都是单位。
相伴
设 a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R，若存在 R R R中的单位 u u u，使得 a = u b a = ub a=ub，则称 a a a 与 b b b相伴，记为 a ∼ b a \sim b a∼b
性质
1） ∀ a ∈ R , a ∣ a , \forall a \in R, a|a, ∀a∈R,a∣a,若 a ∣ b , b ∣ c ⇒ a ∣ c a |b,b|c \Rightarrow a|c a∣b,b∣c⇒a∣c
2） u u u是单位，则 u ∣ a , ∀ a ∈ R u|a,\forall a \in R u∣a,∀a∈R
3）若 a a a 与 b b b相伴，则存在单位使得 b = a u b=au b=au（对称性）
4）相伴关系时R中的等价关系且是 R ∗ R^* R∗幺半群中的同余关系
a ∼ b c ∼ d ⇒ a = b u 1 c = d u 2 ⇒ a c = b d ( u 1 u 2 ) ⇒ a c ∼ b d a \sim b \ \ \ c \sim d \Rightarrow a=bu_1 \ \ \ c=du_2 \Rightarrow ac = bd(u_1u_2 )\Rightarrow ac \sim bd a∼b c∼d⇒a=bu1 c=du2⇒ac=bd(u1u2)⇒ac∼bd
平凡因子
设 a ∈ R ∗ a \in R^* a∈R∗，则单位和a的相伴元都是a的因子，称为a的平凡因子，若b|a ,但是 a ∤ b a \nmid b a∤b，则称b是a的真因子
不可约元素
设 a ∈ R ∗ − U a \in R^* -U a∈R∗−U，若a没有非平凡的真因子，则称a为不可约元素。
例：在整数环中， U = { 1 , − 1 } U = \{1,-1\} U={1,−1}，若 a ∼ b ⇔ a = ± b a \sim b \Leftrightarrow a = \pm b a∼b⇔a=±b，则a的不可约元素 ⇔ a \Leftrightarrow a ⇔a为素数或者负素数。
设P是域，P[x]是P上的一元多项式环， U = P ∗ = P − { 0 } , f ( x ) ∼ g ( x ) ⇔ f ( x ) = c g ( x ) U = P^* = P-\{0\} ,f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow f(x)= cg(x) U=P∗=P−{0},f(x)∼g(x)⇔f(x)=cg(x)，则 f ( x ) f(x) f(x)为不可约元素 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ f ( x ) f(x) f(x)是不可约多项式
素元素
设 p ∈ R ∗ − U p \in R^* -U p∈R∗−U，且由 p ∣ a b ⇒ p ∣ a 或 p ∣ b p |ab \Rightarrow p|a 或p|b p∣ab⇒p∣a或p∣b
素元素一定是不可约元素。
例：
集合 R = Z [ − 5 ] = { a + b − 5 ∣ a , b ∈ Z } R = Z[\sqrt{-5}] = \{a +b \sqrt{-5} |a,b \in Z\} R=Z[−5]={a+b−5∣a,b∈Z}定义普通的加法和乘法，3是不可约元素，但3不是素元素。
唯一析因环
如果整环 R R R满足下列条件：
1）有限析因条件： ∀ a ∈ R ∗ − U \forall a \in R^* -U ∀a∈R∗−U，a可分解为有限个不可约元素的乘积，则有不可约元素 p i ( 1 ≤ i ≤ r ) p_i (1\le i \le r) pi(1≤i≤r)使得 a = p 1 p 2 . . . p r a = p_1p_2 ...p_r a=p1p2...pr
2）分解唯一定理：若
a
∈
R
∗
−
U
a \in R^* -U
a∈R∗−U 有两种不可约元素乘积的分解
a
=
p
1
p
2
.
.
.
p
r
=
q
1
q
2
.
.
.
q
s
a=p_1p_2...p_r =q_1q_2...q_s
a=p1p2...pr=q1q2...qs
则有r=s，而且适当交换顺序可以有
p
i
∼
q
j
,
1
≤
i
≤
r
p_i \sim q_j ,1\le i \le r
pi∼qj,1≤i≤r，则称R是唯一析因环。
例：
整数环、数域上的一元多项式环都是唯一析因环。
Z [ − − 5 ] Z[-\sqrt{-5}] Z[−−5]不是唯一析因环，事实上 9 = 3 ⋅ 3 = ( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) 9 = 3 \cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) 9=3⋅3=(2+−5)(2−−5)
性质
1）唯一析因环R中的不可约元素是素元素。
2）整环 R R R满足有限析因条件，且每个不可约元素是素元素，则 R R R是唯一析因环。
公因子
设 a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R a_1,a_2,...,a_n \in R a1,a2,...,an∈R，若 c ∈ R c \in R c∈R整除 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an，则称c是 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an的公因子，若分因子d能被任何一个因子整除，则称d是最大公因子
3）设 R R R是唯一析因环， a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R，则 a , b a,b a,b的最大公因子存在，而且最大公因子相伴。
主理想整环
若交换幺环的每个理想都是主理想，则称此环为主理想环。若主理想环是整环，则称此环为主理想环。
例：
整数环Z是主理想整环。
性质
1）设R是主理想整环，若R中的一个序列 a 1 , a 2 , a 3 , . . . . a_1,a_2,a_3,.... a1,a2,a3,....里面每一个元素都是前面一个元素的真因子，则此序列是有限序列。
2）设R是主理想整环，若 P ∈ R ∗ − U P \in R^* -U P∈R∗−U是不可约元素，则 < P > <P> <P>是极大理想。
3）主理想整环是唯一析因环。
4）R是主理想整环， a , b ∈ R a,b\in R a,b∈R， d d d为 a , b a,b a,b的最大公因子，则存在 u , v ∈ R u,v \in R u,v∈R，使得 d = u a + v b d = ua +vb d=ua+vb。
5）R是主理想整环， a , b a,b a,b互素 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∃ u , v ∈ R , s t . u a + v b = 1 \exist u,v \in R,st. ua+vb =1 ∃u,v∈R,st.ua+vb=1
欧几里得环
设R是整环，若存在 R ∗ R^* R∗到 N ∪ { 0 } N \cup \{0\} N∪{0}上的映射 δ \delta δ，使得 ∀ a , b ∈ R , b ≠ 0 \forall a,b \in R,b \neq0 ∀a,b∈R,b=0，存在 q , r ∈ R q,r \in R q,r∈R，满足 a = q b + r a =qb+r a=qb+r，其中 r = 0 r=0 r=0或 δ ( r ) < δ ( b ) \delta(r) < \delta(b) δ(r)<δ(b)，则称 R R R是欧几里得环。
例:
整数环是欧几里得环， δ : Z ∗ → N ∪ { 0 } , δ ( m ) = ∣ m ∣ \delta:Z^* \rightarrow N \cup \{0\} , \delta(m) = |m| δ:Z∗→N∪{0},δ(m)=∣m∣
数域p上的一元多项式环 P [ x ] P[x] P[x]， δ : P [ x ] ∗ → N ∪ { 0 } , δ ( f ( x ) ) = d e g ( f ( x ) ) , f ( x ) ≠ 0 \delta :P[x]^* \rightarrow N \cup\{0\},\delta(f(x))=deg(f(x)),f(x)\neq 0 δ:P[x]∗→N∪{0},δ(f(x))=deg(f(x)),f(x)=0
Z [ − 1 ] : { a + b − 1 ∣ a , b ∈ Z } Z[\sqrt{-1}]:\{a+b \sqrt{-1}|a,b \in Z\} Z[−1]:{a+b−1∣a,b∈Z}是欧几里得环， δ ( a + b − 1 ) = a 2 + b 2 \delta (a+b\sqrt{-1})=a^2 +b^2 δ(a+b−1)=a2+b2
性质
1）欧几里得环是主理想整环，进而是唯一析因环。
2）对于欧几里得环R，可以定义辗转相除法
- 设 a , b ∈ R ∗ a,b \in R^* a,b∈R∗，不妨设 δ ( a ) ≥ δ ( b ) \delta(a) \ge \delta(b) δ(a)≥δ(b)，令 a 1 = a , a 2 = b , a 1 = q a 2 + a 3 a_1 =a ,a_2=b,a_1 = qa_2+a_3 a1=a,a2=b,a1=qa2+a3，其中 a 3 = 0 a_3=0 a3=0或者 δ ( a 3 ) < δ ( a 2 ) \delta(a_3) < \delta(a_2) δ(a3)<δ(a2)。
- 若 a 3 = 0 a_3 =0 a3=0 ，则 a 2 a_2 a2是 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2的最大公因子，若 a 3 ≠ 0 a_3 \neq 0 a3=0， a 2 = q 1 a 3 + a 4 a_2 = q_1a_3+a_4 a2=q1a3+a4。
- 其中 a 4 = 0 a_4=0 a4=0或者 δ ( a 4 ) < δ ( a 3 ) \delta(a_4) < \delta(a_3) δ(a4)<δ(a3)，重复上面的过程 δ ( a 1 ) ≥ δ ( a 2 ) ≥ δ ( a 3 ) . . . . \delta(a_1)\ge \delta(a_2)\ge \delta(a_3).... δ(a1)≥δ(a2)≥δ(a3)....在有限步终止，有 a n ≠ 0 ， 而 a n + 1 = 0 a_n \neq 0，而a_{n+1}=0 an=0，而an+1=0
- a n a_n an是 a , b a,b a,b的最大公因子
总结
欧 几 里 得 环 ⊊ 主 理 想 环 ⊊ 唯 一 析 因 环 ⊊ 整 环 欧几里得环 \subsetneq 主理想环 \subsetneq 唯一析因环 \subsetneq 整环 欧几里得环⊊主理想环⊊唯一析因环⊊整环
1） Z [ − 5 ] Z[\sqrt{-5}] Z[−5]是整环但不是唯一析因环。
2） Z [ x ] Z[x] Z[x]是唯一析因环但不是主理想整环。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-490401.html
3） R = { a + b 2 ( 1 + − 19 ∣ a , b ) ∈ Z } R =\{a+\frac{b}{2} (1+\sqrt{-19} |a,b)\in Z\} R={a+2b(1+−19∣a,b)∈Z}是主理想环但不是欧几里得环。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-490401.html
到了这里，关于【抽象代数】素理想、极大理想、唯一析因环、主理想整环、欧几里得环的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
