复变函数的积分化解成曲线积分的问题。
那化成第一类曲线积分还是第二类曲线积分?(高等数学 中有讲第一类曲线积分和第二类曲线积分)。
路径是有方向的,由起点和终点不同,路径有正向和负向。
复变函数的积分归结起来实际上是第二类曲线积分。
先对其做一个定义。
1、有向曲线。2。有向闭曲线。
2、假设一个复变函数 在区域D内,C为D内起点为A,终点为B的一条光滑的有向曲线。(参数方程可导).
曲线C要分成4个步骤。
1、分割
将曲结C分割 ,起点
在曲线中插入N个分点。
2、进行近似。
在每一个小的分段上,任给一个,属于的弧段。
3、求和(跟积分的定义完全一致)
从上图找一个点代到上面的公式中。
的差值 ,长度
4、求极限。
记为
称为f(z)沿着曲线C的积分。和第二类曲线积分非常类似。
若C为闭曲线,记为
注意,
1.如果 在复域上的曲线C落在实轴上,如图。
曲线 a<x<b,
那么
2.(实部和虚部)
代入第三步的公式中。
,(也是复数)
实部和虚部分开。
其实就是如下的
对于曲线上的复变函数的积分,可以把它理解为是第二类曲线积分。
积分存在定理:如果 在D内处处连续,则积分存在。
积分与路径无关。
苛西古萨定理
如果 f(z)在单连通区域B内处处解析,沿着B内的任一条封闭曲线C,积分值 为0,
.
C为B的边界,f(z)在B内与C上解析,则文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-492342.html
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