复变函数的积分

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复变函数的积分化解成曲线积分的问题。

那化成第一类曲线积分还是第二类曲线积分?(高等数学 中有讲第一类曲线积分和第二类曲线积分)。

路径是有方向的,由起点和终点不同,路径有正向和负向。

复变函数的积分归结起来实际上是第二类曲线积分。

复变函数的积分

先对其做一个定义。

1、有向曲线。2。有向闭曲线。

复变函数的积分

 2、假设一个复变函数 在区域D内,C为D内起点为A,终点为B的一条光滑的有向曲线。(参数方程可导).

曲线C要分成4个步骤。

1、分割 

将曲结C分割 ,起点

在曲线中插入N个分点。

2、进行近似。

在每一个小的分段上,任给一个,属于的弧段。

复变函数的积分

3、求和(跟积分的定义完全一致)

从上图找一个点代到上面的公式中。

的差值 ,长度

4、求极限。

记为

称为f(z)沿着曲线C的积分。和第二类曲线积分非常类似。

若C为闭曲线,记为

注意,

1.如果 在复域上的曲线C落在实轴上,如图。

复变函数的积分

曲线   a<x<b,

那么

2.复变函数的积分(实部和虚部)

复变函数的积分

代入第三步的公式中。

复变函数的积分  ,(也是复数)

复变函数的积分

复变函数的积分

实部和虚部分开。

其实就是如下的复变函数的积分

对于曲线上的复变函数的积分,可以把它理解为是第二类曲线积分。

积分存在定理:如果 复变函数的积分在D内处处连续,则积分存在。

积分与路径无关。

苛西古萨定理

如果 f(z)在单连通区域B内处处解析,沿着B内的任一条封闭曲线C,积分值 为0,

.

C为B的边界,f(z)在B内与C上解析,则

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