(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

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目录

基本运算

证明

异或运算

定义

性质

基本定理

代入定理

反演定理

规则

对偶定理


        这一节基本上就是一些与或的运算,在《离散数学》中,与或其实就是合取以及析取,所以百分之九十的东西都是与离散数学类似的,在此就不做过于详细的介绍。

基本运算

        基本运算包括与或非,这个地方使用与离散数学不同的符号来表示,具体如下所示:

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

除此之外,还有相应的电路符号与之对应,如下所示:

        值得注意的是,图形符号分为国标与国际两种写法。 

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

        然后我们先来看一看一些基本定理(可以通过对偶定理得到另一半,后面会介绍),我会给出一部分的证明,感兴趣的同学可以证明剩下的。 

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

        值得注意的是,反演律是特别重要的一条定理,也叫做德.摩根 定理; (A*)*中的*是对偶的意思,在后面会介绍。

证明

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

 (四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

异或运算

这部分在离散数学中没有提到很多,我们来详细介绍一下。

定义

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

        注:A ⊙ B ⊙ C =A ⊕ B ⊕ C,由归纳法可得出推论:偶数个变量同或的结果与异或的结果互非;奇数个变量同或的结果与异或的结果相等。

性质

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

基本定理

        基本定理包含代入定理,反演定理,对偶定理,接下来我们就来一一介绍一下。

代入定理

       所谓代入定理,是指在任何一个包含变量A的逻辑等式中,若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置,则等式仍然成立。我们来简单运用一下,证明一下德摩根定理的拓展形式。

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

反演定理

        所谓反演定理,是指对于任意一个逻辑式Y,若将其中所有的 “ · ” 换成 “+”,“+”换成“ · ”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结果就是Y' 。

规则

  1. 遵守“先括号,然后乘,最后加”
  2. 不属于单个变量上的反号应保留不变

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

对偶定理

        若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等,这就是对偶定理。

        所谓对偶式,即:对于任何一个逻辑式Y,若将其中的“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,则可得到一个新的逻辑式Y*, Y*即为Y的对偶式,或者Y与Y*互为对偶式 。

(四)《数字电子技术基础》——逻辑代数基础

    要注意反演定理对偶定理的相似点与不同点。

相似 不同
反演定理 有“·”、“+”、”0“、”1“的替换 原变量与反变量互换
对偶定理 有“·”、“+”、”0“、”1“的替换 原变量与反变量互换

        好了,我们先介绍到这,之后还会继续补充学习内容。 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-492548.html

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