【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析—

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

拉普拉斯变换及其性质

傅里叶变换： $j w$
拉普拉斯变换： $s=\sigma+jw$

1 双边拉普拉斯变换的定义

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子 $e^{-\sigma t}$ （ $\sigma$ 为实常数）乘信号 $f (t)$ ，适当选取 $\sigma$ 的值，使乘积信号 $f(t)e^{-\sigma t}$ 当 $t\rightarrow \infty$ 时信号幅度趋近于0 ，从而使 $f(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换存在。

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

相应的傅里叶逆变换为：

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

2 收敛域

只有选择适当的 $\sigma$ 值才能使积分收敛，信号 $f (t)$ 的双边拉普拉斯变换存在。

收敛域：使 $f (t)$ 拉氏变换存在的 $\sigma$ 取值范围。

2.1 因果信号

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

因果信号的收敛域在某一条直线之右。

2.2 反因果信号

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

反因果信号的收敛域在某一条直线之左。

2.3 双边信号

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质
双边信号的收敛域在两条直线之间。

结论：

(1) 对于双边拉普拉斯变换而言， $F_b(s)$ 和收敛域一起，可以唯一地确定 $f (t)$ 。即：

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

(2) 不同的信号可以有相同的 $F_b(s)$ ，但收敛域不同。

3 （因果信号）单边拉氏变换的定义

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样， $t < 0$ 时， $f (t) = 0$ 。从而拉氏变换式写为
$F(s)=\int_{0_{-}}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t$

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 $Re[s]>\alpha$ ，可以省略。

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

$\varepsilon(t)$ ：单边， $t$ 小于零部分 $f (t)$ 值为零。

4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

备注：
$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$

当 $w\not = 0$ 时，
$\lim _{\sigma \rightarrow 0} \frac{\sigma}{\sigma^{2}+\omega^{2}}=0=\pi\delta(\omega)$

当 $w = 0$ 时，极限值为无穷大，等价于冲激函数 $\delta(w)$ ，面积为 $\pi$ ：
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sigma}{\sigma^{2}+\omega^{2}}d\omega= \arctan (\frac{x}{\sigma})|_{-\infty}^{+\infty}=\pi$
即 $\pi\delta(w)$ 。

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

5 常见信号的拉普拉斯变换

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

6 拉普拉斯变换的性质

6.1 线性、尺度变换

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

6.2 时移、复频移特性

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

6.3 时域和复频域的微积分特性

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

我们可以通过求原函数倒数的拉氏变换来求原函数的拉氏变换。

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

6.4 卷积定理

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

6.5 初值、终值定理

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

7 拉普拉斯反变换

直接利用定义式求反变换—复变函数积分，比较困难。常用的方法 :
（1）查表 ;

（2）利用性质;

（3）部分分式展开 ----- 结合

若象函数 $F (s)$ 是 $s$ 的有理分式，可写为
【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

若 $m \geq n$ （假分式）, 可用多项式除法将象函数 $F (s)$ 分解为有理多项式 $P (s) + 有理真分式$

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质
例如：

$P (s)$ 的拉普拉斯逆变换由冲激函数( $\delta$ )及其各阶导数( $\delta'$ ， $\delta''$ …)构成。

下面主要讨论有理真分式。

部分分式展开法
【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质

$\frac{1}{s-(-\alpha+j\beta)}\rightarrow e^{(-\alpha+j\beta)t}$

$\frac{1}{s-(-\alpha-j\beta)}\rightarrow e^{(-\alpha-j\beta)t}$

由欧拉公式，得到：

$e^{j\theta}\cdot e^{(-\alpha+j\beta)t}+e^{-j\theta}\cdot e^{(-\alpha-j\beta)t}$
$=e^{-\alpha}(e^{j(\theta+\beta t)}+e^{-j(\theta+\beta t)})$
$=2e^{-\alpha}\cos(\beta t+\theta)$