动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)-Toy模板网

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动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

我们今天要探讨的动态规划问题来源于俄罗斯科学家Levenshtein提出的两个对象之间的不相似度，在音频、语言翻译等领域有广泛的应用。如果用于评估字符串之间的不相似度，那么又称为最小编辑距离MED(Minimum Edit Distance)，它规定从string 1到转换成 string 2的最少操作数，最少操作数(MED)越大，那么两个字符串相似度越低；最少操作数(MED)越小，那么两个字符串的相似度就越高，如果两个字符串完全相同，那么最小编辑距离值为0。

今天要解决的问题来源于Leecode 问题 72，问题描述：

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符

删除一个字符

替换一个字符

这是典型的动态规划问题，因为word 1和word 2可以划分为子问题，而且子问题与原问题有类似的解结构。为了证明其是动态规划问题，借助《算法导论》中的CRCC 分析流程，对此问题进行解决分析。

表征最优问题的结构(Characterize the structure of the optimal solution)

首先确定操作对象为word1当中的字符，需要确认将其转化为word2所使用的最少操作数(MED)，那么对于word1中的每个字符（包括∅),针对word1中的第i个字符，和word2中的第j个字符，有两大类：

如果word1[i]和word[j]相等，那么只需要把各自的操作对象字符往前移动一位，对于实际的最少操作数（MED)没有影响。如果word1[i]和word[j]不相等，面临三个选项：

a.) 删除操作，删除word1中的当前字符i

b.) 替换/更新操作，对于word1中的当前i字符，使用word2中的第j个字符进行替代

c.) 插入操作，在第i个位置插入word2的第j个字符

需要操作的动作是，三个选项都需要尝试，然后采纳操作数最小的操作动作。我们不排斥三个选择当中的任何一个，我们要做的是try them and try THEM ALL, 这个思想类似穷举法，我们对所有的可能都进行判断，然后择优选择。这一点也是动态规划不同于贪心算法的关键，贪心算法每一步只选择某个最优项目，无需对所有选择进行判断，然后基于当前最优前景的选择，进行下一步的相关操作。所以动态规划类似撒网，贪心算法类似垂钓，两类问题在对待子问题的选择上不同。

递归定义最优解的值

接下来来到最关键的一步，通过递归来定义最优解的值，假定word1=<x1,x2,x3.xi…xm>, word2=<y1,y2,y3…yj.yn>，我们定义数组dp[i] [j]来定义<x1,x2,x3…xi>和<y1,y2,y3…yj>的最少操作数（MED)，对于最少操作数的矩阵dp[i] [j]，可以有下面的选择：

a.)如果x[i]==y[j]，那么dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1], 也就是说，如果二者相等，<x1,x2,x3…xi>和<y1,y2,y3…yj>的最少操作数（MED)等于<x1,x2,x3…xi-1>和<y1,y2,y3…yj-1>的最少操作数(MED)。
$when\ the\ x[i]\ equals\ to\ y[j]$

b.)如果x[i]≠y[j]，这时候需要从删除、插入、更新三个选择中选择最小的最少操作数(MED)，况且这三个选择的代价相同，无论选择哪一个，其最少操作数（MED)都需要追加1。

接下来我们用公式表示这三个选择。
$dp[i][j]=min\left\{dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1\right\}$
dp[i-1] [j]+1表示假定选择删除第word1中的第i个字符，作为最少操作数（MED)的情况，相当于word1指向i字符的指针先向前移动1位，同时由于word2中的第j位字符还没有进行任何比较（删除word1[i]后，无法进行比较），所以其指针位置不变化。

dp[i][j-1]+1表示假定在word1的i字符之后插入与word2当中的第j个字符，那么这个时候相当于word1的i指针没有变化，当时word2[j]由于已经找到匹配（与word1中的插入字符相同），那么就需要把word2的j指针向前移动1位。

dp[i-1][j-1]+1表示假定把word1中的第i个字符替换为与第j个字符相同，那么这时候，word1中的指针i和word2当中的指针j都需要往前移动1位。

上述三个情况完成后，需要选择三类操作中最小的最少操作数，作为当前dp[i][j]的最少操作数（MED)的值。如果word1字符串为空，那么这时候就需要追加word2当前的字符串长度至word1当中，插入的长度等于当前word2的长度；如果word2为空串，那么就需要删除word1当中的所有字符串，确保二者一致，删除的长度等于当前word1的长度。

为了能更简洁阐述上述观点，采用下列表格对dp[i][j]的变化过程进行说明；
动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

我们现在假定需要求解DP[1][2]的值（深蓝色单元格)，具体可以理解为word1=‘∅h’, word2='∅ro’情况下最小操作数。

由于word1[1]!=word2[2]，所以我们需要在删除、替换、更新三个策略中选择结算的最小操作数(MED)选取最小的值，这时候我们有：

DP[1][2]=DP[0][2]+1=2+1=3，我们用图示来说明具体操作路径：

删除操作

动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

如橙色箭头所示，首先在word1插入’r’，word1变为’∅rh’，最少操作数为1; 接着在word1中插入’o’，word1变为’∅roh’，最少操作数为2(=1+1)；最后我们删除’h’，word1变为’∅ro’，完成操作(最少操作数为3)，在此过程中，最少操作数总数为3,为了方便，抽象为：

D[i][j]=D[i-1][j]+1, 最后一步操作表示删除word1中的第i个元素，我们可以得到当前D[i][j]值为这个数字，值得一提的是，一定要强调当前，因为这个数字不是最终的D[i][j]的数字。回到前文的示例，我们有当前的D[1][2]的具体值。

D[1][2]=D[0][2]+1=2+1=3；

替换/更新操作

动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

具体过程解析为，在word1的∅后面先插入’r’, word1字符转换称为 ‘∅rh’，最小操作数为1；接着我们替换word1中的’h’为’o’，word1转换为’∅ro’，最小操作数为2(1+1).

最后一步的操作可以表示为:

DP[i][j]=DP[i-1][j-1]+1，此步骤表示替换操作，具体到上面的例子中，我们可以看到，当前的DP[1][2]的值可以表示为：

DP[1][2]=DP[0][1]+1=1+1=2;

插入操作

第一步操作，替换word1（‘∅h’）中的’h’为’r’，转换word1为（‘∅r’)，此步骤的最小操作数1；

第二操作，在当前的word1(‘∅r’)后面追加’o’，转换word1为(‘∅ro’)，此步骤的最小操作数为2(1+1), 其中最后一步的操作可以抽象为:

DP[i][j]=DP[i][j-1]+1，表示插入操作，具体到当前的实际例子中，我们有：

DP[1][2]=DP[1][1]+1=1+1=2

截止到目前位置，我们分别对删除、替换/更新、插入三个选择进行计算，汇总结果：

DP_Delete=3;

DP_Update=2;

DP_Insert=2;

DP[1][2]=min{DP_Delete, DP_Update,DP_Insert}=2;

在此示例中，如果仔细分析，可以发现DP_Update 和DP_Insert均可以取得相同的最小操作数，实际上这两种结果都是合法的结果，所以我们可以所，最小编辑距离(MED)的具体的解选择并不唯一。

回到最初的问题，如果要求解word1='∅horse’和word2='∅ros’二者字符串的最小操作数，我们沿着图示中蓝色方块进行，就可以求得结果。

动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

计算最优解的值

完成上述定义后，计算最优解的值过程就相对就比较简单。递归或者迭代都是可以选择的程序构建方法。本例中我们采用两个方法进行说明。

在具体执行程序之前，需要特别提到的是，MED问题属于选择性的子问题，不同于Rod-cutting或者Matrix-Chain-Multiplication问题，不需要对前面所有的子问题进行评估，只需要评估当前以及当前临界的问题即可，所以如果采用递归流程，在程序中就可以省去循环过程，只需要多个不同的判断分支即可解决问题。这是MED问题不同于rod-cutting和Matrix-chain-multiplication的问题的关键地方。我们先采用bottom-up的方法计算求解过程。

a-1) 头文件定义

/**
 * @file Edit_Distance.h
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-02-25
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef EDIT_DISTANCE_H
#define EDIT_DISTANCE_H
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define M 5
#define N 3

/**
 * @brief Fid the minimum operation times by changing the source string to target source
 * 
 * @param source Source string to be updated/changed
 * @param target Target string we need pay attention to
 * @param m Length of source string
 * @param n Length of target string
 * @param DP To store the min_edit_distance 
 */
void min_edit_distance(char *source,char *target, int m, int n, int DP[M+1][N+1]);

/**
 * @brief Find the minimum opeation times from three types
 *
 * @param num_delte Number of deltetion
 * @param num_insert Number of insertion
 * @param num_update Number of updating
 * @return int -Return the minimum number of three type of operatoin
 */
int min(int num_delete, int num_insert, int num_update);

#endif

b-1) 函数实施

/**
 * @file Edit_Distance.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-02-25
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef EDIT_DISTANCE_C
#define EDIT_DISTANCE_C
#include "Edit_Distance.h"

void min_edit_distance(char *source, char *target, int m, int n, int DP[M + 1][N + 1])
{
    int i;
    int j;
    int num_delete;
    int num_update;
    int num_insert;
	
    //If source string is not empty while target string is empty
    //just delete the current length of source string from the source string
    for(i=0;i<=m;i++)
    {
        DP[i][0]=i;
    }
	  //If source string is empty while target string is not empty
    //just insert the current length of source string into the source string
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        DP[0][i]=i;
    }

    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(source[i]==target[j])
            {
                //no operatoin needed if both are source[i]==target[j] equal
                DP[i][j]=DP[i-1][j-1]; 
            }
            else
            {
                //Given three choices, we need to evaluate the minimum one
                //Follow the rule: try them and try them ALL
                num_delete=DP[i-1][j]+1;
                num_insert=DP[i][j-1]+1;
                num_update=DP[i-1][j-1]+1;
                DP[i][j]=min(num_delete,num_insert,num_update);
            }
        }
    }

    return;
}

int min(int num_delete, int num_insert, int num_update)
{
    int min_value;
    
    min_value=(num_delete<num_insert?num_delete:num_insert);
    min_value=(num_update<min_value?num_update:min_value);

    return min_value;
}

#endif

c-1) 测试主函数

/**
 * @file Edit_Distance_Main.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-02-25
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef EDIT_DISTANCE_MAIN_C
#define EDIT_DISTANCE_MAIN_C
#include "Edit_Distance.c"

int main(void)
{
    int m;
    int n;
    int DP[M+1][N+1];
    //'#' indicate the string is empty and equals to '∅'
    char source[] = {'#', 'h', 'o', 'r', 's', 'e'};
    char target[] = {'#', 'r', 'o', 's'};
    m=M;
    n=N;

    min_edit_distance(source,target,m,n,DP);

    printf("The minimum edit distance is %d\n",DP[m][n]);

    getchar();
    return EXIT_SUCCESS;
}
#endif

对于递归程序，我们这里仅呈现函数的实现，头文件和测试问题件，我们就不一一罗列了。

/**
 * @file Edit_Distance.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * 采用递归形式，实现MED计算
 * @version 0.1
 * @date 2023-02-25
 *
 * @copyright Copyright (c) 2023
 *
 */
#ifndef EDIT_DISTANCE_C
#define EDIT_DISTANCE_C
#include "Edit_Distance.h"

int min_edit_distance(char *source, char *target, int m, int n, int DP[M + 1][N + 1])
{
    int i;
    int j;

    for(i=0;i<=m;i++)
    {
        for(j=0;j<=n;j++)
        {
            DP[i][j]=-1;
        }
    }

    return min_edit_distance_aux(source, target,m,n,DP);
}

int min_edit_distance_aux(char *source, char *target, int m, int n, int DP[M + 1][N + 1])
{
    int num_delete;
    int num_insert;
    int num_update;
    int dist;

    if (DP[m][n] !=-1)
    {
        return DP[m][n];
    }

   
    if(m==0)
    {
        DP[m][n]=n;
    
    }
    else if(n==0)
    {
        DP[m][n]=m;
    }
    else
    {
        if(source[m]==target[n])
        {
            DP[m][n] = min_edit_distance_aux(source,target,m-1,n-1,DP);
        }
        else
        {
            num_delete = min_edit_distance_aux(source, target, m-1, n, DP)+1;
            num_insert = min_edit_distance_aux(source, target, m, n-1, DP)+1;
            num_update = min_edit_distance_aux(source, target, m-1, n-1, DP)+1;
            DP[m][n]=min(num_delete,num_insert,num_update);
        }
    }
    return DP[m][n];
}


int min(int num_delete, int num_insert, int num_update)
{
    int min_value;
    
    min_value=(num_delete<num_insert?num_delete:num_insert);
    min_value=(num_update<min_value?num_update:min_value);

    return min_value;
}

#endif

构建最优解的信息

对于如何构建最优解的路径，我们可以设定另外数组 P[i][j]进行记录，其选择值可以为’D’(Delete), ‘U’(Update)和’I’(Insert)三个值之一，从尾部到头部的方法从（递归）遍历，然后打印出操作方法即可，在此略过。

总结:

对于此动态规划问题，在解决之前将近花了一天时间进行思考，很多时候走入思维的误区，最大的误区是，希望对每一步计算之前，通过word1[i]和word2[j]的先行比较，从而选择Delete, Update或Insert操作之一。其实这个思维过程已经违反了动态遍历的基本思维： Try them and try them all. 后来又复习了《算法导论》中LCS的相关章节，才豁然开朗，打开了思路。

另外碰到的思维难点，在于递归的结束条件或迭代的其实条件的计算，其实过程中没有抽象到word1等于’∅’或word2’∅’的情况，进入死胡同，无法结束递归或开启迭代的相应计算。

其三，通过反思和比较，更进一步体会到了有条件选择和全部选择的不同，主要是MED问题和rod-cutting问题的比较，在rod-cutting问题中，我们需要对{pi+r(n-i)}的所以切割位置进行循环判断，然后才能得到最优的值。而此问题实际上只需要对当前问题的邻接问题进行判断即可，也即：上方，左方，左上方的值进行判断即可，对于左上方的值，需要通过字符比较，确认选择的代价是0还是1。