1 曲面研究的基本问题
曲面研究的两个基本问题：
- 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；
- 已知x,y和z直接的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。
例1 建立球心在点
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M_0(x_0,y_0,z_0)
M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程。
设点
M
(
x
,
y
,
z
)
是球面上的任一点，则
∣
M
0
M
⃗
∣
=
R
∵
∣
M
0
M
⃗
∣
=
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
∴
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
=
R
即
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
=
R
2
设点M(x,y,z)是球面上的任一点，则\\ |\vec{M_0M}|=R\\ \because |\vec{M_0M}|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\\ \therefore \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}=R\\ 即(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2
设点M(x,y,z)是球面上的任一点，则∣M0M∣=R∵∣M0M∣=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2∴(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R即(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
例2 方程
x
2
+
y
2
+
z
2
−
2
x
+
4
y
=
0
x^2+y^2+z^2-2x+4y=0
x2+y2+z2−2x+4y=0表示怎么样的曲面？
配方，原方程变为：
(
x
−
1
)
2
+
（
y
+
2
)
2
+
z
2
=
5
则该方程表示球心为
(
1
,
−
2
,
0
)
，半径为
5
的球
配方，原方程变为：\\ (x-1)^2+（y+2)^2+z^2=5\\ 则该方程表示球心为(1,-2,0)，半径为\sqrt5的球
配方，原方程变为：(x−1)2+（y+2)2+z2=5则该方程表示球心为(1,−2,0)，半径为5的球
设有三元二次方程
A x 2 + A y 2 + A z 2 + D x + E y + F z + G = 0 Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0
特点：
- 缺少 x y , y z , z x 各项 xy,yz,zx各项 xy,yz,zx各项；
- 平方项系数相同。
则它的图形就是一个球面。
2 旋转曲面
平面曲线C绕其同平面内一直线L旋转一周而成的曲面S称为旋转曲面；选择曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
如上图所示，设yOz坐标面上有一已知曲线C,它的方程
f
(
y
,
z
)
=
0
f(y,z)=0
f(y,z)=0,则C绕z轴的旋转曲面方程？
设点
M
1
(
0
,
y
1
,
z
1
)
为曲线
C
上的任一点，则有
f
(
y
1
,
z
1
)
=
0
(
2
−
1
)
曲线绕
z
轴旋转，
M
1
点绕
z
轴得到另外一点
M
(
x
,
y
,
z
)
,
有
z
=
z
1
点
M
到
z
轴的距离：
d
=
x
2
+
y
2
=
∣
y
1
∣
导入（
2
−
1
）式有
f
(
±
x
2
+
y
2
,
z
)
=
0
设点M_1(0,y_1,z_1)为曲线C上的任一点，则有f(y_1,z_1)=0\quad(2-1)\\ 曲线绕z轴旋转，M_1点绕z轴得到另外一点M(x,y,z),有\\ z=z_1\\ 点M到z轴的距离：d=\sqrt{x^2+y^2}=|y_1|\\ 导入（2-1）式有\\ f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0
设点M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，则有f(y1,z1)=0(2−1)曲线绕z轴旋转，M1点绕z轴得到另外一点M(x,y,z),有z=z1点M到z轴的距离：d=x2+y2=∣y1∣导入（2−1）式有f(±x2+y2,z)=0
总结:
母线
:
f
(
y
,
z
)
=
0
{
绕
z
轴旋转，
S
:
f
(
±
x
2
+
y
2
,
z
)
=
0
绕
y
轴旋转
,
s
:
f
(
y
,
±
x
2
+
z
2
)
=
0
母线
:
f
(
z
,
x
)
=
0
{
绕
z
轴旋转，
S
:
f
(
z
,
±
x
2
+
y
2
)
=
0
绕
x
轴旋转
,
s
:
f
(
±
y
2
+
z
2
,
x
)
=
0
母线
:
f
(
x
,
y
)
=
0
{
绕
x
轴旋转，
S
:
f
(
x
,
±
y
2
+
z
2
)
=
0
绕
y
轴旋转
,
s
:
f
(
±
x
2
+
z
2
,
y
)
=
0
母线:f(y,z)=0 \begin{cases} 绕z轴旋转，S:f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\\ 绕y轴旋转,s:f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0 \end{cases}\\ 母线:f(z,x)=0 \begin{cases} 绕z轴旋转，S:f(z, \pm\sqrt{x^2+y^2})=0\\ 绕x轴旋转,s:f(\pm\sqrt{y^2+z^2}, x)=0 \end{cases}\\ 母线:f(x,y)=0 \begin{cases} 绕x轴旋转，S:f(x, \pm\sqrt{y^2+z^2})=0\\ 绕y轴旋转,s:f(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0 \end{cases}\\
母线:f(y,z)=0{绕z轴旋转，S:f(±x2+y2,z)=0绕y轴旋转,s:f(y,±x2+z2)=0母线:f(z,x)=0{绕z轴旋转，S:f(z,±x2+y2)=0绕x轴旋转,s:f(±y2+z2,x)=0母线:f(x,y)=0{绕x轴旋转，S:f(x,±y2+z2)=0绕y轴旋转,s:f(±x2+z2,y)=0
例3 直线L绕另外一条相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角 α ( 0 < α < π 2 ) \alpha(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}) α(0<α<2π)叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为 α \alpha α的圆锥面的方程，如下图2-1所示：
解：在 y o z 平面上，执行 L 的方程： z = y cot α ( 2 − 1 ) 旋转轴为 z 轴， ( 2 − 1 ) 方程中 y 改为 ± x 2 + y 2 , 得圆锥面方程： z = ± x 2 + y 2 cot α 或 z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ) ( a = cot α ) 解：在yoz平面上，执行L的方程：z=y\cot\alpha\quad (2-1)\\ 旋转轴为z轴，(2-1)方程中y改为\pm\sqrt{x^2+y^2},得圆锥面方程：\\ z=\pm\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha或z^2=a^2(x^2+y^2)(a=\cot\alpha) 解：在yoz平面上，执行L的方程：z=ycotα(2−1)旋转轴为z轴，(2−1)方程中y改为±x2+y2,得圆锥面方程：z=±x2+y2cotα或z2=a2(x2+y2)(a=cotα)
例4 求yOz平面上曲线
z
=
a
y
2
(
a
>
0
)
z=ay^2(a\gt0)
z=ay2(a>0)绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程。
解：旋转曲面方法
,
z
=
a
(
x
2
+
y
2
)
解：旋转曲面方法,z=a(x^2+y^2)
解：旋转曲面方法,z=a(x2+y2)
例5 求xOz平面上双曲线 x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−c2z2=1,分别绕z轴，x轴旋转一周所生成旋转曲面的方程，如下图所示：
解：绕 z 纵轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，方程为 x 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 绕 x 轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，方程为 x 2 a 2 − y 2 + z 2 c 2 = 1 解：绕z纵轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，方程为\\ \frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\\ 绕x轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，方程为\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1 解：绕z纵轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，方程为a2x2+y2−c2z2=1绕x轴旋转所形成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，方程为a2x2−c2y2+z2=1
3 柱面
一般地，直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。
- 分类
f ( x , y ) = 0 : { 准线为 x O y 平面上的曲线 f ( x , y ) = 0 母线平行于 z 轴 f ( y , z ) = 0 : { 准线为 y O z 平面上的曲线 f ( y , z ) = 0 母线平行于 x 轴 f ( z , x ) = 0 : { 准线为 z O x 平面上的曲线 f ( z , x ) = 0 母线平行于 y 轴 f(x,y)=0: \begin{cases} 准线为xOy平面上的曲线f(x,y)=0\\ 母线平行于z轴 \end{cases}\\ f(y,z)=0: \begin{cases} 准线为yOz平面上的曲线f(y,z)=0\\ 母线平行于x轴 \end{cases}\\ f(z,x)=0: \begin{cases} 准线为zOx平面上的曲线f(z,x)=0\\ 母线平行于y轴 \end{cases}\\ f(x,y)=0:{准线为xOy平面上的曲线f(x,y)=0母线平行于z轴f(y,z)=0:{准线为yOz平面上的曲线f(y,z)=0母线平行于x轴f(z,x)=0:{准线为zOx平面上的曲线f(z,x)=0母线平行于y轴
例6 ①方程 x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面，它的母线平行于z轴，它的准线是xOy平面上的圆 x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x2+y2=R2，该柱面叫做圆柱面。
②方程
y
2
=
2
x
y^2=2x
y2=2x
解：准线：
x
O
y
平面上曲线
y
2
=
2
x
母线平行于
z
轴
,
该柱面叫做抛物柱面
如下图所示：
解：准线：xOy平面上曲线y^2=2x\\ 母线平行于z轴,该柱面叫做抛物柱面\\ 如下图所示：
解：准线：xOy平面上曲线y2=2x母线平行于z轴,该柱面叫做抛物柱面如下图所示：
③方程
x
−
z
=
0
x-z=0
x−z=0
解：准线
z
O
x
平面上曲线
x
−
z
=
0
母线平行于
y
轴，该方程表示过
y
轴的平面
解：准线zOx平面上曲线x-z=0\\ 母线平行于y轴，该方程表示过y轴的平面
解：准线zOx平面上曲线x−z=0母线平行于y轴，该方程表示过y轴的平面
4 二次曲面
4.1 定义
三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。
4.2 研究方法
研究曲面的方法：
-
截痕法
以平面$z=t(或x=t,y=t)去截曲面得截痕，研究截痕随t变化规律，从而了解曲面的形状。
例1 方程
z
=
x
2
+
y
2
z=x^2+y^2
z=x2+y2
令
z
=
t
,
截次曲面，当
t
=
0
时，的一点
(
0
,
0
,
0
)
;
当
t
≠
0
时，得平面上
z
=
t
上的圆
x
2
+
y
2
=
t
(
t
>
0
)
当
t
从
0
趋向于
+
∞
时，圆半径趋向于无穷大
此方程表示位于
z
轴上方的圆锥面
令z=t,截次曲面，当t=0时，的一点(0,0,0);当t\not=0时，得平面上z=t上的圆x^2+y^2=t(t\gt0)\\ 当t从0趋向于+\infty时，圆半径趋向于无穷大\\ 此方程表示位于z轴上方的圆锥面
令z=t,截次曲面，当t=0时，的一点(0,0,0);当t=0时，得平面上z=t上的圆x2+y2=t(t>0)当t从0趋向于+∞时，圆半径趋向于无穷大此方程表示位于z轴上方的圆锥面
- 伸缩变形法
①平面情形
曲线C:F(x,y)=0,沿y轴伸缩
λ
\lambda
λ倍，得曲线
C
′
C^{'}
C′
C
′
方程
:
F
(
x
,
y
λ
)
=
0
C^{'}方程:F(x,\frac{y}{\lambda})=0
C′方程:F(x,λy)=0
②空间情形
空间曲面方程S:F(x,y,z)沿z轴伸缩 λ \lambda λ倍，则 S ′ : F ( x , y , z λ ) = 0 S^{'}:F(x,y,\frac{z}{\lambda})=0 S′:F(x,y,λz)=0;空间曲面方程S:F(x,y,z)沿x轴伸缩 λ \lambda λ倍，则 S ′ : F ( x λ , y , z ) = 0 S^{'}:F(\frac{x}{\lambda},y,z)=0 S′:F(λx,y,z)=0;空间曲面方程S:F(x,y,z)沿y轴伸缩 λ \lambda λ倍，则 S ′ : F ( x , y λ , z ) = 0 S^{'}:F(x,\frac{y}{\lambda},z)=0 S′:F(x,λy,z)=0;
4.3 九种二次曲面
（1）椭圆锥面：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
z
2
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2
a2x2+b2y2=z2
圆锥面
z
2
=
x
2
+
y
2
沿
x
轴拉伸
a
倍：
z
2
=
x
2
a
2
+
y
2
在沿
y
轴拉伸
b
倍：
z
2
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
圆锥面z^2=x^2+y^2\\ 沿x轴拉伸a倍：z^2=\frac{x^2}{a^2}+y^2\\ 在沿y轴拉伸b倍：z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
圆锥面z2=x2+y2沿x轴拉伸a倍：z2=a2x2+y2在沿y轴拉伸b倍：z2=a2x2+b2y2
（2）椭球面： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
（3）单页双曲面： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2−c2z2=1
（4）双叶双曲面： x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2−b2y2−c2z2=1
（5）椭圆抛物面： x 2 a 2 + y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z a2x2+b2y2=z
（6）双曲抛物面： x 2 a 2 − y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z a2x2−b2y2=z
（7）椭圆柱面： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
（8）双曲柱面： x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1
（9）抛物柱面： x 2 = a y x^2=ay x2=ay
结语
❓QQ:806797785
⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math
参考：
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p37-45.
[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p55.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-492855.html
[3]曲面研究的两个基本问题、旋转曲面、柱面、二次曲面[CP/OL].文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-492855.html
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