GAMES101笔记 Lecture02 线性代数基础-Toy模板网

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A Swift and Brutal Introduction to Linear Algebra

Garphics’ Dependencies(图形学的依赖)

Basic mathematics(基础的数学)

Linear alrebra, calculus, statistics

Basic physics(基础的物理)

Optics, Mechanics

Misc(杂项)

Signal processing
Numerical analysis

And a bit of asethetics(以及一点美学)

Vectors(向量)

GAMES101笔记 Lecture02 线性代数基础

通常写成 $\vec a$ 或者加粗的a;
或者使用起点或者重点来表示： $\vec{AB} = B - A$ ;
向量最重要的两个属性：长度和方向；
没有绝对的开始的位置；

Vector Normalization(向量归一化)

向量的大小通常写为 $\vec{a} ||$
单位向量
- 长度为1的向量
- 计算一个向量的单位向量： $\hat{a} = \vec{a} / ||\vec{a}||$
- 用于表示方向

Vector Addition(向量求和)

GAMES101笔记 Lecture02 线性代数基础

几何意义：平行四边形法则 && 三角形法则
代数意义：简单的坐标相加

Vector Multiplication(向量乘法)

Dot product(点乘)
1. $\vec{a} · \vec{b} = || \vec{a} || || \vec{b} || cos \theta$
2. $cos\theta = \frac{\vec{a} · \vec{b}}{|| \vec{a} || || \vec{b} ||}$
3. 对于单位向量： $cos\theta = \hat{a} · \hat{b}$
4. 性质：
  - $\vec{a} · \vec{b} = \vec{b} · \vec{a}$
  - $\vec{a} · (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} · \vec{b} + \vec{a} · \vec{c}$
  - $(k\vec{a}) · \vec{b} = \vec{a} · (k \vec{b}) = k(\vec{a} · \vec{b})$
5. 分别相乘，然后相加
  - In 2D:
    $\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_{a} \\ y_{a} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}$
  - In 3D:
    $\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b}$
  1. 作用
    - 计算两个向量的夹角
    - 计算一个向量到另一个向量的投影
    - 测量两个方向离的有多近
    - 分解一个向量，垂直与平行
    - 决定方向朝前or朝后
Cross product(叉乘)
1. 两个向量叉乘的结果与两个原始向量正交。
2. 方向由右手定则决定。
3. 在构建坐标系时非常有用。
4. 性质：
  - $\vec{x} \times \vec{y} = + \vec{z}$
  - $\vec{y} \times \vec{x} = - \vec{z}$
  - $\vec{y} \times \vec{z} = + \vec{x}$
  - $\vec{z} \times \vec{y} = -\vec{x}$
  - $\vec{z} \times \vec{x} = +\vec{y}$
  - $\vec{x} \times \vec{z} = -\vec{y}$
  - $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
  - $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
  - $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
  - $\vec{a} \times (k \vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})$
5. 向量叉乘的公式：
  - $\vec{a} \times \vec{b}=\left(\begin{array}{l} y_{a} z_{b}-y_{b} z_{a} \\ z_{a} x_{b}-x_{a} z_{b} \\ x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} \end{array}\right)$
  - 也可以写成矩阵乘法的形式：
6. 作用：
  - 判断左右
  - 判断在里面还是在外面
定义坐标系
1. 对于表示点、位置很重要
2. 要求：单位向量、互相垂直(点乘为0，且叉乘结果为另外一轴)
3. 可以将任意一个向量分解到三个轴上去，各个轴的投影可以利用点积计算。