A Swift and Brutal Introduction to Linear Algebra
Garphics’ Dependencies(图形学的依赖)
Basic mathematics(基础的数学)
- Linear alrebra, calculus, statistics
Basic physics(基础的物理)
- Optics, Mechanics
Misc(杂项)
- Signal processing
- Numerical analysis
And a bit of asethetics(以及一点美学)
Vectors(向量)
- 通常写成 a ⃗ \vec a a或者加粗的a;
- 或者使用起点或者重点来表示: A B ⃗ = B − A \vec{AB} = B - A AB=B−A;
- 向量最重要的两个属性:长度和方向;
- 没有绝对的开始的位置;
Vector Normalization(向量归一化)
- 向量的大小通常写为 ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ || \vec{a} || ∣∣a∣∣
- 单位向量
- 长度为1的向量
- 计算一个向量的单位向量: a ^ = a ⃗ / ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ \hat{a} = \vec{a} / ||\vec{a}|| a^=a/∣∣a∣∣
- 用于表示方向
Vector Addition(向量求和)
- 几何意义:平行四边形法则 && 三角形法则
- 代数意义:简单的坐标相加
Vector Multiplication(向量乘法)
-
Dot product(点乘)
- a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ c o s θ \vec{a} · \vec{b} = || \vec{a} || || \vec{b} || cos \theta a⋅b=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ
- c o s θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ cos\theta = \frac{\vec{a} · \vec{b}}{|| \vec{a} || || \vec{b} ||} cosθ=∣∣a∣∣∣∣b∣∣a⋅b
- 对于单位向量: c o s θ = a ^ ⋅ b ^ cos\theta = \hat{a} · \hat{b} cosθ=a^⋅b^
- 性质:
- a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ \vec{a} · \vec{b} = \vec{b} · \vec{a} a⋅b=b⋅a
- a ⃗ ⋅ ( b ⃗ + c ⃗ ) = a ⃗ ⋅ b ⃗ + a ⃗ ⋅ c ⃗ \vec{a} · (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} · \vec{b} + \vec{a} · \vec{c} a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
- ( k a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⋅ ( k b ⃗ ) = k ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) (k\vec{a}) · \vec{b} = \vec{a} · (k \vec{b}) = k(\vec{a} · \vec{b}) (ka)⋅b=a⋅(kb)=k(a⋅b)
- 分别相乘,然后相加
- In 2D:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a ) ⋅ ( x b y b ) = x a x b + y a y b \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_{a} \\ y_{a} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b} a⋅b=(xaya)⋅(xbyb)=xaxb+yayb - In 3D:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a z a ) ⋅ ( x b y b z b ) = x a x b + y a y b + z a z b \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b} a⋅b= xayaza ⋅ xbybzb =xaxb+yayb+zazb
- 作用
- 计算两个向量的夹角
- 计算一个向量到另一个向量的投影
- 测量两个方向离的有多近
- 分解一个向量,垂直与平行
- 决定方向朝前or朝后
- In 2D:
-
Cross product(叉乘)
- 两个向量叉乘的结果与两个原始向量正交。
- 方向由右手定则决定。
- 在构建坐标系时非常有用。
- 性质:
- x ⃗ × y ⃗ = + z ⃗ \vec{x} \times \vec{y} = + \vec{z} x×y=+z
- y ⃗ × x ⃗ = − z ⃗ \vec{y} \times \vec{x} = - \vec{z} y×x=−z
- y ⃗ × z ⃗ = + x ⃗ \vec{y} \times \vec{z} = + \vec{x} y×z=+x
- z ⃗ × y ⃗ = − x ⃗ \vec{z} \times \vec{y} = -\vec{x} z×y=−x
- z ⃗ × x ⃗ = + y ⃗ \vec{z} \times \vec{x} = +\vec{y} z×x=+y
- x ⃗ × z ⃗ = − y ⃗ \vec{x} \times \vec{z} = -\vec{y} x×z=−y
- a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} a×b=−b×a
- a ⃗ × a ⃗ = 0 ⃗ \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} a×a=0
- a ⃗ × ( b ⃗ + c ⃗ ) = a ⃗ × b ⃗ + a ⃗ × c ⃗ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} a×(b+c)=a×b+a×c
- a ⃗ × ( k b ⃗ ) = k ( a ⃗ × b ⃗ ) \vec{a} \times (k \vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b}) a×(kb)=k(a×b)
- 向量叉乘的公式:
- a ⃗ × b ⃗ = ( y a z b − y b z a z a x b − x a z b x a y b − y a x b ) \vec{a} \times \vec{b}=\left(\begin{array}{l} y_{a} z_{b}-y_{b} z_{a} \\ z_{a} x_{b}-x_{a} z_{b} \\ x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} \end{array}\right) a×b= yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb
- 也可以写成矩阵乘法的形式:
- 作用:
- 判断左右
- 判断在里面还是在外面
-
定义坐标系
- 对于表示点、位置很重要
- 要求:单位向量、互相垂直(点乘为0,且叉乘结果为另外一轴)
- 可以将任意一个向量分解到三个轴上去,各个轴的投影可以利用点积计算。
Matrices(矩阵)
在图形学中,矩阵常用于表示变换:移动,旋转、缩放、错切等。
矩阵乘法不满足交换律—— A B ≠ B A AB \ne BA AB=BA
满足结合律和分配律:
- ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
- A ( B + C ) = A B + A C A(B+C) = AB + AC A(B+C)=AB+AC
- ( A + B ) C = A C + B C (A+B)C = AC + BC (A+B)C=AC+BC
矩阵的转置:
转置的性质:
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(AB)^{T} = B^{T} A^{T}
(AB)T=BTAT
单位矩阵和逆矩阵:
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-492953.html
参考资源
GAMES101 Lecture 02 Review of Linear Algebra文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-492953.html
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