概率论:参数估计——点估计

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首先,我们要知道点估计是什么:

概率论:参数估计——点估计

简单来讲,点估计一般就是拿出很多样本来,拿他们的均值和方差之类的当成参数,或者是通过均值和方差计算出他的参数。

概率论:参数估计——点估计

简单来说,参数空间就是这个分布的参数可以的取值。

概率论:参数估计——点估计

概率论:参数估计——点估计

先学习矩估计法:

概率论:参数估计——点估计

还记得变量的矩是什么吗?就是E(x^k)。

概率论:参数估计——点估计

可以看到,平均数就是总体期望的矩估计(k=1版本的矩)

概率论:参数估计——点估计

但这样的方法不一定准确:

概率论:参数估计——点估计

下面是总体的评价:

概率论:参数估计——点估计

现在我们来学习其他的方法:极大似然估计法:

概率论:参数估计——点估计

这是很常见的思想,那要怎么运用到参数估计上来呢?:

概率论:参数估计——点估计

概率论:参数估计——点估计

看不懂?看例子:

概率论:参数估计——点估计

这个问题就是:我知道了F(x)的形式,现在我要求这个参数是多少。现在我把所有的密度函数乘起来,获得了似然方程。现在我要做的就是找到一个参数,使得这个似然方程最大,于是要求导。因为取对数对导数的零点没有影响,所以可以用取对数再求导来规避复杂的运算。

概率论:参数估计——点估计

可以看到我这个似然函数有两个参数,那我就分别求导计算。

通用方法是什么?:

概率论:参数估计——点估计

我们求导的目的是为了求出怎样的参数可以使似然函数最大,但有的时候求不了导:

概率论:参数估计——点估计

这个显然没有办法用求到来求最大值,于是我们选择了返璞归真的做法。

最后是总结:

概率论:参数估计——点估计

估计量的评判标准:

概率论:参数估计——点估计

现在我们要评价不同方法得出的参数的好坏了。

概率论:参数估计——点估计

 首先,无偏性是什么?:

概率论:参数估计——点估计

好复杂,无偏估计是什么?:

无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此估计量为被估计参数的无偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。无偏估计常被应用于测验分数统计中。

现在我们就开始解决问题。

 概率论:参数估计——点估计

无偏性以u,标准差最为典型。有些分布直接以u,标准差作为参数,根据大数定理(也就是矩估计的理论基础):

概率论:参数估计——点估计

 这样可以看到,凡是以矩(也就是参数可以用E(X),E(X^2),E(X^3)之类的)表示的分布,用矩估计是无偏的。同时我们也就知道了为什么当初均匀分布用矩估计不好,它的参数不是矩。

概率论:参数估计——点估计

似然函数的解法解释:最大值为Z的概率就是“X1小于Z的概率*X2小于Z的概率····”,于是这就是把大家都乘起来。两边一起求导就得到了最大值为Z的概率密度,也就可以求他的期望是不是正确的参数了。

概率论:参数估计——点估计

可以看到我们用极大似然得出的参数,他们的期望是n/(n+1)的真实参数,只要乘n+1/n就可以无偏化。 

概率论:参数估计——点估计

有效性:

概率论:参数估计——点估计 

之前我们要求计算出的参数期望要和真实值相同,现在我们还要求方差要小。

概率论:参数估计——点估计 

概率论:参数估计——点估计 

现在学一致性:

概率论:参数估计——点估计 

概率论:参数估计——点估计 

感觉相合性是劣化版的无偏性。 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-494010.html

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