平面图
概念
若无向图 G G G有一种在平面上的画法，其中，边仅相交于表示顶点的点，则称 G G G是平面图，否则为非平面图。这样画的几何图形称为它的平面表示，简称平图。
极大平面图
是平面图,但是在任意两个不相邻顶点之间加边就是非平面图
- 面的次数均为3
极小非平面图
是非平面图,但是删除任意1边就是平面图
- 例如 K 5 , K 3 , 3 K_5,K_{3,3} K5,K3,3
性质
握手定理
平面图各面的次数之和等于其边数的两倍。
每条边分割出两个面，贡献两个次数（握手定理的另一种形式）。
欧拉公式
判断平面图的必要条件
若连通平面图有
n
n
n个顶点，
m
m
m条边，
r
r
r个面，则
n
−
m
+
r
=
2
n-m+r=2
n−m+r=2
推广
记平面图的连通分量个数为
p
p
p，
n
−
m
+
r
=
1
+
p
n-m+r=1+p
n−m+r=1+p
根据欧拉公式，可证只存在五种正多面体
推论
推论1
若连通平面图各面的次数不小于
l
(
≥
3
)
l(\geq 3)
l(≥3)，则
m
≤
l
l
−
2
(
n
−
2
)
m\leq \frac{l}{l-2}(n-2)
m≤l−2l(n−2)
证明
2 m = ∑ i = 1 r d e g ( R i ) ≥ l ⋅ r = l ⋅ ( 2 + m − n ) 2m=\sum_{i=1}^r {\rm deg}(R_i)\geq l\cdot r=l\cdot(2+m-n) 2m=i=1∑rdeg(Ri)≥l⋅r=l⋅(2+m−n)
推广
设平面图连通分量为
p
p
p，
m
≤
l
l
−
2
(
n
−
p
−
1
)
m\leq \frac{l}{l-2}(n-p-1)
m≤l−2l(n−p−1)
推论2
较推论1更弱
设
n
(
≥
3
)
n(\geq 3)
n(≥3)阶简单平面图有
m
m
m条边，则
m
≤
3
n
−
6
m\leq 3n-6
m≤3n−6
证明
由简单图得
l
≥
3
l\geq 3
l≥3
m
≤
l
l
−
2
(
n
−
p
−
1
)
≤
(
n
−
2
)
3
=
3
n
−
6
m\leq \frac{l}{l-2}(n-p-1)\leq (n-2)3=3n-6
m≤l−2l(n−p−1)≤(n−2)3=3n−6
其中
p
≥
1
p\geq 1
p≥1，
l
l
−
2
\frac{l}{l-2}
l−2l在
l
=
3
l=3
l=3时取到最大值
对于简单极大平面图， m = 3 n − 6 m=3n-6 m=3n−6
（ 2 m = 3 r , r = 2 + m − n 2m=3r,r=2+m-n 2m=3r,r=2+m−n)
推论
简单平面图 G G G满足 δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\leq 5 δ(G)≤5.
获取一个小度点往往是重要的算法切入点
证明
（反证法）假设
δ
≥
6
\delta\geq 6
δ≥6，则
n
≥
6
n\geq 6
n≥6，得
2
m
=
∑
d
(
v
)
≥
n
δ
≥
6
n
⇒
m
≥
3
n
2m=\sum d(v)\geq n\delta\geq 6n\Rightarrow m\geq 3n
2m=∑d(v)≥nδ≥6n⇒m≥3n
与
m
≤
3
n
−
6
m\leq 3n-6
m≤3n−6矛盾。
库拉托夫斯基定理
准备
同胚
反复插入或删除2度顶点后得到的图与原图同胚。
收缩
删除（一些）边，将每对与被删边关联的顶点合并为一个顶点，得到的图是原图的收缩。
内容
- 无向图 G G G是平面图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ G G G中不存在与 K 5 K_5 K5或 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3同胚的子图
- 无向图 G G G是平面图 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ G G G中不存在能收缩成 K 5 K_5 K5或 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的子图
这样的说明更加清晰
应用
边收缩可以增大结点度数文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-494076.html
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-494076.html
到了这里，关于2021秋季《离散数学》_平面图的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
