矩阵理论| 基础:线性子空间(非平凡子空间)、空间分解、直和分解

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前置:线性代数学习笔记3-5:秩1矩阵和矩阵作为“向量”构成的空间

线性子空间

空间 V \mathbf V V有子空间 V 1 \mathbf V_1 V1(一组基为 α 1 , α 2 , . . . , α k \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k α1,α2,...,αk)和子空间 V 2 \mathbf V_2 V2(一组基为 β 1 , β 2 , . . . , β l \beta_1,\beta_2,...,\beta_l β1,β2,...,βl),那么

  • 子空间的和 V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2也是 V \mathbf V V的子空间,维数 r < k + l r<k+l r<k+l

基的求法:
将两个子空间的基 组合为矩阵 [ α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l ] \bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]} [α1,...,αk,β1,...,βl],那么该矩阵行初等变换后得到的 r r r个线性无关列就是 V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2 r r r个基向量

  • 子空间的交 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1V2也是 V \mathbf V V的子空间,维数 k + l − r k+l-r k+lr

基的求法:
V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1V2中的向量,必须满足既能由 V 1 \mathbf V_1 V1的基表出,也能由 V 2 \mathbf V_2 V2的基表出,即满足方程 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x k α k = y 1 β 1 + y 2 β 2 + . . . + y l β l x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_k\alpha_k=y_1\beta_1+y_2\beta_2+...+y_l\beta_l x1α1+x2α2+...+xkαk=y1β1+y2β2+...+ylβl
我们需要若干组系数 x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk(或 y 1 , . . . , y l y_1,...,y_l y1,...,yl)来表出 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1V2的基向量,因此问题转化为求解方程 [ α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l ] x = 0 \bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]x=0} [α1,...,αk,β1,...,βl]x=0,方程有 k + l − r k+l-r k+lr个无关的解,每个解对应的系数 x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk(或 y 1 , . . . , y l y_1,...,y_l y1,...,yl)给出了 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1V2的一个基

  • 子空间的并 V 1 ∪ V 2 \mathbf V_1\cup \mathbf V_2 V1V2一般不是 V \mathbf V V的子空间(不满足空间的加法封闭性)

非平凡子空间

对于任何空间而言,无需任何额外信息,即可知道他的两个子空间:{0}和整个空间本身

这两个子空间称为“平凡子空间”,除此以外的子空间都是“非平凡子空间”(必然是不满秩的子空间)

空间分解

整个空间可以分解为两个子空间 V 1 \mathbf V_1 V1 V 2 \mathbf V_2 V2,且两个子空间相加得到整个原空间
空间分解的本质,就是对基的分解
并且,一般的空间分解满足, V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2的基 = V 1 \mathbf{V_1} V1的基+ V 2 \mathbf{V_2} V2的基- V 1 ∩ V 2 \mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2} V1V2这个交集的基
由上,进一步有 d i m ( V 1 + V 2 ) = d i m V 1 + d i m V 2 − d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dim(\mathbf V_1+\mathbf V_2)=dim\mathbf V_1+dim\mathbf V_2-dim(\mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2}) dim(V1+V2)=dimV1+dimV2dim(V1V2)
矩阵理论| 基础:线性子空间(非平凡子空间)、空间分解、直和分解

特殊的空间分解:直和分解

上面的情况,空间分解后,两个子空间有公共的基向量;
我们也可以分解使得 V 1 \mathbf V_1 V1 V 2 \mathbf V_2 V2没有有公共的基向量,这就是直和分解
或者说,普通的空间分解和直和分解,都是分解空间的基底,区别是直和分解完全解耦、分解出两组基

可见,直和分解,就是将原空间的基分为两组、分别张成两个自空间(没有公共的基)

进而,N维空间,可以不断分解为N个一维子空间的和

空间中的任意向量,可以表示为子空间 V 1 \mathbf V_1 V1中向量和子空间 V 2 \mathbf V_2 V2中向量的叠加,如果这种表示是唯一的,称为直和分解

  • 如图,左侧做空间分解后,空间中任意向量的表示是唯一的,这是直和分解;
    右侧则不是直和分解,因为 V 1 \mathbf V_1 V1 V 2 \mathbf V_2 V2有公共的基( S ∩ U ≠ { 0 } \mathbf{S} \cap \mathbf{U}\neq \{0\} SU={0}),从而导致了任意向量的表示不唯一(可以 V 1 \mathbf V_1 V1多贡献一些分量,也可以 V 2 \mathbf V_2 V2多贡献)矩阵理论| 基础:线性子空间(非平凡子空间)、空间分解、直和分解
  • 直和分解的判定:
    矩阵理论| 基础:线性子空间(非平凡子空间)、空间分解、直和分解

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