数学建模-OLS回归模型 斯皮尔曼相关系数 数值模拟 多目标规划-养老服务床位需求预测与运营模式研究
养老服务床位需求预测与运营模式研究
摘要
随着时间的推移，我国人口老龄化逐渐增多，老龄化的社会问题越来越突出，从2009年到2018年，无论是老年人口数量，还是老年人口化所占的比例都有明显的增长，解决养老服务问题已是迫在眉睫。合理的估计养老服务中床位的需求，制定合理的养老服务床位发展规划，不仅是构建和谐社会、幸福社会的重要组成部分，还为企业提供了一个“商机”。
针对问题一，首先依据题目要求，在相关附件的基础上补充中国统计局官方网站上获取的关于人口数量和人口结构的数据，从参考文献中获取有关消费水平的数据，建立多元回归模型，以人口数量、人口结构和消费水平为自变量, 养老服务床位需求数量为因变量，最后预测养老服务床位需求数量为826万个床位。再通过比较人口数量与老龄化斯皮尔曼相关系数选择最优拟合数据，建立OLS回归模型，验证OLS回归模型所求养老服务床位需求量在多元线性回归模型计算的养老服务床位需求量内。通过预测结果将养老服务床位需求分为两类，分别是城镇需求量和乡村需求量，再把已知数据得知城乡需求量比例，建立简单线性回归模型，最后分别预测城镇养老服务床位需求量000和乡村服务床位需求量000。
针对问题二，题目要求从企业的角度出发，分析养老服务床位增加中的“商机”。在实际搜索资料时发现由于许多因素，养老服务床的实际使用率在50%左右。这意味着几乎一半投入都成为损失。我们考虑到企业的运营成本的情况下，对此以养老床使用率、需求量、城镇和乡村流动人口、老年人数量和抚养率重新确立一个市场需求模型，在MATLAB软件求出因素不变情况下的城镇和乡村市场需求的变化程度。再通过提高使用率，发现当使用率提高，市场需求相应减少。这表明市场需求的是高质量的养老床位服务，增加高质量的养老床位服务，提高使用率才是“商机”所在。
针对问题三，结合问题一、问题二中给出的数据和结果，我们转换角度，选择政府对老人提供的补贴、养老金及社会捐赠的成本金额和养老机构的利润为目标函数，找到老年人数与养老床位之间、养老机构单床运营成本与养老机构营业利润之间的关系，构建多目标规划的优化模型，通过数值模拟的情况，最后利用数值模型进行计算，得出政府在减少补贴的情况让企业维持在一个可持续发展中状态且状态系数为。
针对问题四，首先根据题目要求总结本题数学模型及其算法基础下。在中国统计局得出中国的消费水平不断提升和社会服务事业的支出不断提升，在经济水平刺激下城镇流动人口增加而乡村人口在同比例减下的情况下、老年人数量不断增加的情况下从而影响政府对老人提供的补贴、养老金及社会捐赠的成本金额,在考虑这些因数的变化下，在一次在MATLAB软件下进行数值模拟建立相应变化系数作为决策问题三中数值模拟变量对此模型进行了优化建设和谈论最后得出数值模为1系数。
最后给出模型的优缺点和改进方法
关键词：OLS回归模型 斯皮尔曼相关系数 数值模拟 多目标规划
- 问题重述
1.1问题背景
中共中央、国务院印发的《国家积极应对人口老龄化中长期规划》指出，人口老龄化是社会发展的重要趋势，是人类文明进步的体现，也是今后较长一段时期我国的基本国情。人口老龄化对经济运行全领域、社会建设各环节、社会文化多方面乃至国家综合实力和国际竞争力，都具有深远影响。
由于我国人口基数大，养老需求的层次也不同，解决养老服务问题迫在眉睫。通过政府和各方面的努力，尽可能的不断满足老年人养老服务需求。家家都有老人，人人都会变老，所以利用数据库对以往的人口数据进行分析，建立预测模型，对养老服务床位需求数量进行预测，是促进社会发展、构建幸福社会的有效途径。
1.2问题提出
根据以上背景，以及给出的三个附件，需要解决一下问题：
（1）分析我国的人口数量、年龄化结构以及消费水平，在现状的养老服务市场下，预测养老服务床位数量的市场需求规模及其分类。
（2）针对现有的养老机构服务床位的数量和结构，在当前的结构下分析和讨论并建立相应的数学模型能够反映养老服务床位的需求模型，帮助企业在发展中发现并分析其中的“商机”。
（3）根据我国的现状，设计一个既能基础满足社会需求，又能持续发展养老服务机构的事业，同时还能促进社会发展的养老服务床位运营的商业模型。拓宽除经营收入、政府补助和社会捐赠以外的经济来源。
（4）结合问题一、问题二、问题三的相应数学模型基础上，归纳总结出对于本题中最关键的数学建模模型以及算法。以得出相应的数学模型及结论为本题的依据，对政府管理部门提出对于现存养老床位规划问题提出建议。
- 问题分析
2.1 问题一的分析
题目要求根据我国的人口数量、结构和消费水平，研究得出未来养老服务床位数量的市场需求规模及其分类。
在分析人口数据时，考虑到题目附件中所给的数据不够齐全，我们在中国统计局官方网站获取数据进行补充，并按照人口数量和人口结构预测未来老龄人口数量，参考相关文献给出的消费水平模型，预测养老服务床位数量，并将其分类。
2.2 问题二的分析
考虑到是从企业的角度出发，发现养老服务床位增加中的“商机”。对于企业而言，“商机”指市场有需求但并未满足的部分。通过附件3中第三方机构调查得知，有10%的老年人愿意入住养老机构。即在理想状态下2018年就有0.17亿的市场需求。2018年各类养老床位实际数量为727.1万张。尚且不足需求的一半，而使用率仅为50%。即在供不应求的情况下，仍有半数床位无人使用。对此通过建立一个以养老床使用率、理想需求、城乡流动人口、老年人数量和抚养率为因素的市场需求模型。分析养老服务床位增加中真正的“商机”。
2.3 问题三的分析
题目要求依照政府的角度，建立一个合适的数学模型，实现设计一个既能 基本满足社会需求，又能持续发展养老服务事业，同时还能促进社会就业的养老服务床位运营的商业模式。
选择政府对老人提供的补贴、养老金及社会捐赠的成本金额和养老机构的利润为目标函数，找到就业人数与养老床位之间、养老机构单床运营成本与养老机构营业利润之间的关系，构建多目标规划的优化模型，给出养老服务床位运营的商业模式，并预测在该商业模式下，随着我国政府职能转变、经济体制转型、市场经济体制不断完善，综合考虑政府、老年人、企业 3 方需求，以政府为主导，构建多约束多目标的养老服务床位运营的商业优化模型，加快养老机构的市场化进程，在满足社会需求的前提下，建立完整养老服务规划，加快经济发展
2.4 问题四的分析
题目要求结合前面的数据分析及数学模型模型计算结果，分析题目中最关键的数学建模问题及其算法，并按照以上三问给出的解答为科学依据,在问题三的商业模式的情况下对本题进行一个优化政府对老人提供的补贴、养老金及社会捐赠的成本金额，综合考虑政府、老年人、企业的补贴和需求和利润的情况下进行优化数值模拟，对于目标函数进行求解，对政府管理部门针对养老床位规划问题给出合理建议。
- 模型假设
1.消费水平随着时间增长而增加
2.养老机构不会倒闭
3. 老人对养老机构喜爱程度增加
- 符号说明
- 模型建立与求解
5.1 问题一
5.1.1建立人口结构模型
基于附件提供的人口结构数据，本文在中国统计局官方网站收集数据进行填补，并使用Excel软件制作成条形统计图：
通过建立回归模型，获得了消费水平的相关系数：
（1）Z1式中为人均可支配收入，Z2为人均GDP
5.1.2建立多元回归模型
3.根据以上数据，建立多元回归模型:
4.利用matlab计算得到一下图片信息：
（多元回归计算结果）
由图可知，预测养老服务床位的数量区间在y1=810.4282+-89.0843。
5.1.3建立OLS回归模型
基于对数据的分析，本文认为有附件所提供的人口总数量与养老服务床位数量可进行预测、老龄（65周岁以上含65周岁）人口与养老服务床位可进行预测，为了获得更加准确的数据，利用斯皮尔曼相关系数进行计算：
（3）式中di表示为Xi和Yi之间的等级差
结果得出人口总数量与养老服务床位数量的斯皮尔曼相关系数优于老龄人口与养老服务床位的斯皮尔曼相关系数。
因此，本文选择以人口总数量来预测养老服务床位数量，且所预测得到的结果更加趋于真实。
建立OLS回归模型（最小二乘法）：
得出：
依据上图的输出结果，确定随机误差部分
的概率分布：
标准差s=40.9
由上图可得，R-squared=0.975，说明养老服务床位数量约有98%可以通过人口总数量与养老服务床位的数量的线性模型来解释，说明模型具有很强的线性相关性。
5.1.4分析回归模型
基于对问题一的分析，结合上述模型：
| 模型 |
预测养老服务床位数量 |
| 多元线性回归模型 |
810.4282+-89.0843 |
| OLS模型 |
825.844893262236 |
观察以上数据，发现OLS模型所得到的结果在多元线性回归模型所得到的结果范围内，因此，预测养老服务床位需求量为826万个。
5.1.5建立简单线性模型
本文通过对人口总数进行分类，分为城镇人口和乡村人口，进而对养老服务床位需求量进行分类。
建立简单线性回归模型，分别对城镇人口和乡村人口进行预测，然后根据比例分类.
线性回归模型建立：
(预测城乡老年人口数量)
通过每一年比例城镇和乡村得出堆积图：
（城乡需求量占比）
得到城镇需求量占总需求量的64.8%，乡村需求量占总需求量的35.2%,养老服务机构在城乡分类占比为13：7。
5.2 问题二
5.2.1模型建立与求解
养老服务床位需求Y预测模型如下：
由图可知根据城镇乡村养老床位需求-时间折线图得知城镇养老床位需求随时间的增加而提高，乡村则与之相反。这是因为随着时间的增加，乡村人口逐渐涌入城镇，导致城镇的养老需求增加，而乡村的养老需求减少。
5.2.2模型的改进
很显然随着使用率的提高，养老床位需求数量随之减少。这说明，企业可以通过减少过多的床位，降低成本。提高服务质量，提升使用率，获得更多的利润。
通过上述求解可知，城镇的养老需求不断提高，企业可以将城镇作为中心重点发展。有图可知，提供高质量的服务可以减少过多的床位，降低成本，提升使用率，获得更多的利润。这都是“商机”所在。
5.3 问题三
5.3.1模型分析：
查阅大量资料基于现状人口分析制定一个新型养老服务和医疗康护的新模型如图:
由结构图，在医疗康护的融合下的养老模式下，实现政府，机构，个人三方互利共赢，对于政府而言不仅能够有效提高老年人口健康水平，而且还能提高社会保障人力，物力的利用率，降低相关成本。对机构而言，可以保证资金的支持，扩大规模，提高效益，对个人而言，不仅提高个人的健康水平而且能够普惠社会提供均等化服务，医疗和养老模型的结合模型的构建满足社会需求，这样才可以稳定发展养老服务行业。
5.3.2多目标规划建立：
由题可知，我国养老服务的收入来源目前主要有经营收入、政府补贴和社会捐赠，建立多目标规划模型：
(1) 式中，f为总支出，z为政府补贴，k为社会捐赠，i为年政府补贴及社会捐赠成本，j代表城镇和乡村，minf1（Nj）为老年人补贴捐赠所花费的总成本。
商业的最终目的是实现盈利，因此需要计算养老机构营业利润：
(2)
综合问题一和问题二，可以得知，利润与人口数量，城乡需求息息相关，因此，需要建立约束条件：
约束条件1：
(3)式中
为全国普查人口数量。
约束条件2：
城镇和乡村老人的人数均为非负数的约束
建立形成一个围绕政府补贴及社会捐赠成本和养老机构营业利润双目标养老服务床位运营的商业模型优化模型，整体结构如下：
变形：
（5）式中
为养老机构营业利润系数，
为政府补贴及社会捐赠成本系数。
变形得：
（6）式中
为系数比。
通过使用matlab数值模型计算得到以下结果：
(理想商业模型图)
由图可知企业利润和政府补贴是存在相交性的，在初步的形成下政府的补贴会随企业发展中减让企业在利润就小的情况获得的利润最可观，这样政府的补贴以及社会的捐赠达到一个最小值，而企业在这个补助的情况下可持续发展，
5.4 问题四
5.4.1模型建立
在优化模型的情况下，我们用excel软件预测老年人口的数量图：
由图得知我国老年人口不断增多，早已进入老龄话社会的局面，养老服务产业得到了整一个社会的极大关注，由于城乡发展的不平衡以及区域的发展问题，看出城镇老年人数量比乡村老年人数量比例要高。
5.4.2模型建立
在基于问题三分析基础上对于政府的补贴和人口消费水平的提高以及社会捐赠大力支持下优化数据对数据进行数值模拟建立形成一个围绕政府补贴及社会捐赠成本和养老机构营业利润双目标养老服务床位运营的商业模型优化模型，整体结构如下：
优化数值模拟模型：
v
通过MATLAB进行数值模拟：
如图：
由图可知企业利润和政府补贴与社会捐赠是存在相交性的，在问题三初步的形成下政府的补贴与社会捐赠提高会提前与企业利润值相交，从而让企业利润率提高，在中国的发展状态下，人均消费水平的提高从而也提高企业在养老服务可以获得的可观的利润，这样政府的补贴以及社会的捐赠提高到
系数状态下，而企业在这个的情况下高效发展，
六、模型评价与改进
6.1优点：
1.本文的模型是在对大量数据进行认真分析和处理后建立的，通过将数据进行补充以及进行可视化处理，寻找普遍使用规律，使模型建立的数据信息更可靠，更加贴近实际。
2.通过对模型的优化，使模型适应更加复杂的实际情况。问题一中，利用人口数量与养老服务床位之间的关系，利用OLS回归模型进行预测，使得最后的结果更加趋于准确。
3.问题三中通过建立多目标规划模型，建立双赢的商业模型体系，使得计算结果符合题目的要求。
6.2缺点：
- 线性回归的变量间存在共线性
- 共线性使最小二乘法预估的参数不确定且估计值方差较大，方差较大又会导致参数的置信区间增大
6.3模型推广：
1.多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。在资源分配、计划编制、生产调度等方面有一定的’应用。但是，作为一种决策方法，多目标规划的应用前景还是很乐观的。企业决策者掌握和运用这种方法将有助于提高管理和决策水平。
七、参考文献
[1]吴旭.我国居民消费水平的影响因素和现状分析[J].统计与管理,2021,36(10):4-10.
[2] 赵雅莉，陈婧，贾东方. 养老服务床位运营的商业模式研究[J]. 经济与管理科学,2020,(10):0162-0162.
[3]黄海立.基于商业生态系统视角的养老服务企业商业模式创新案例研究[I] 经济与管理科学D669.6;F719文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-494266.html
八、附录清单文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-494266.html
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