前段时间我在知乎上看到这么一个问题：假设你在参加一个抽奖游戏，主持人在三个小碗分下面放了 1 块钱、1 块钱和 10000 块钱的筹码。你选中哪一个，你就可以领到对应的钱。当你选定一个碗之后，主持人翻开剩下两个碗里，下面有一块钱筹码的碗给你看。并且，给你一次机会选另外一只碗。请问：应不应该换？ 为什么？
这引起了我的探索兴趣。一看这个问题的叙述，我的第一反应便是：这就是一个概率大小的分析和比较问题。结合这个学期在修读“概率论与数理统计”这门课，我决定对这个问题进行深入的调研。
这个问题其实是历史上著名的蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题） 的演化版本。我们先来看一下三门问题具体是什么：
三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目 Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是 1/3。换门的话，赢得汽车的几率是 2/3。
三门问题的正确答案，在很久以前就有了；但直到如今，其理解以及求解的过程仍然在引发着热烈的探讨。
其中，对于初次接触到这个问题的人来说，一般有这样的思考模式：三扇门， 有一扇门后面是汽车，我选了一扇门，如果主持人没有打开剩下的两扇门中的一扇，那么很明显，我赢得汽车的概率是 1/3；如果在我选了一扇门后，主持人打开剩下的两扇门中的一扇，这扇门的后面是山羊，那么另外的包括我所选的两扇门中，一扇后面是汽车，另一扇后面是山羊，那么无论我换门与否，赢得汽车的概率都是 1/2，这个概率是不会因为换门而改变的。而这与这个问题的正确答案是不一样的。
那么，究竟错在哪里呢？问题的正解是什么呢？有的人自始至终无法理解为什么换门之后，赢得汽车的概率会增大，并且对这个“正确答案”产生了怀疑。秉承“事实大于雄辩”的原则，有人用程序对这个概率进行了计算，如下所示：
实验结果是：换不换？换：正确率：0.667300。约等于 2/3。
这也就证明了目前存在的“正确答案”的正确性。那么，问题便是无可置疑地出现在我们解题的过程中了。
由于这个学期修读了“概率论与数理统计”，并且以及对“贝叶斯概率”“全概率”有了一定的知识储备，那么我首先可以用专业的概率论知识来对这个问题进行求解：
- 设三扇门为 A,B,C，假设我们已经选了门 A，主持人打开了门 B；
- 若车在 A，则打开 B 的概率是 1/2，若车在 C，则打开 B 的概率为 1；
- B 被打开可能是在以车在 A 的前提下以 1/2 概率随机选择的（情况 1），也可能是以车在 C 为前提以 1 的概率打开的（情况 2）；
- 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况 2 使 B 被打开的可能性更大，所以以 B 被打开作为已知信息，可以推出已发生情况 2 的概率更大。
用概率论公式来分析，我们得到：
车在门 A 的概率为：
车在门 B 的概率为：
答案很明了：更换门后赢得汽车的概率是不更换门的 2 倍。
用图形来表示，可以很直观地比较两种选择的区别：
以上是运用较为专业、准确的利用概率论的公式来求解这个问题，但对于很多人来说，这依然只是陈述了一个事实，并不能让人真正透彻地理解。那么能否使用一个更加通俗直观的解释方法来分析这个问题呢？
我们中学修读物理的时候，曾用到过“极限法”，就是在求解一个模棱两可的问题的时候，我们适当地将一个变量或者条件扩展至无限大或者无限小，这是就能很直观地得到正确答案。在三门问题的处理上，我们同样可以运用类似的“极限处理法”：
例如，有 1000000 个小碗，只有 1 个下面放钱了，其他下面全都没钱，让我们选，我们选中的概率肯定极低。这时候主持人让我们先摁住一个，然后“嗖嗖嗖”，把剩下的 999999 个碗掀开了 999998 个，底下都没有钱，只剩下一个碗了，主持人问我们：“给你一次机会，剩下的这个换不换？”
这时，我们就能给出一个较为肯定的答案：肯定换啊，为什么？因为主持人都帮我们把空的剔除了，剩下的这个大概率是有钱的。
对于这个结果，我给出一个通俗的解释：刚开始让我们选，选中的概率是1/1000000，剩下的碗中有钱的概率是 999999/1000000。而无论我们选什么， 主持人都能保证在剩下的空碗中掀开 999998 个空碗，这是动作的概率是 1，完成这个动作之后，他手里剩下的那个碗有钱的概率没变，还是 999999/1000000。
通过“极限处理法”的使用，我认识到，三门问题是多门问题之中最难的情况。在三门问题的基础上可以推测，如果把三门变成千门，参赛者第一次就选中的概率就是1/1000，参赛者就会清楚自己完全是猜测，而不是如同三门的时候，1/3的概率，所以认为自己是正确的。这样，当主持人打开剩下999扇门中的998扇时，该如何选择，认真思考就会比三门的时候清晰很多（换与不换，中奖的比率是999:1)。
在分析“三门问题”的过程中，我通过自己的理解和思考，总结出一句话：概率存在于被给予的条件下，不能寄托在实际的物体上。
以上就是我从两个角度对“三门问题”的分析，一个角度是运用专业性的概率论计算处理，另一个角度是运用“极限处理法”展现出更加通俗直观的解答过程。虽然这两种分析方法看似差别很大，但它们的共同点都是以“概率论与数理统计”为分析与解答的核心。
通过“三门问题”，我们能够对“概念”这一定义有一个更加清晰的理解：概率用来评估未发生事件，对于已经发生的某一事件，只有结果，没有概率。此时人们常说的“概率”，并不严谨，本质是“对结果的猜测”。
总的来说，对于“概率”，我们有三点需要注意：
1.独立原则。随机事件的概率不受之后发生事情的影响
2.之后发生事情会影响人们“对结果的猜测”。
3.人们经常犯的错误是轻易混淆“概率”、与“对结果的猜测”。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-495313.html
在历史上，这种与概率论计算有关的趣味问题还有很多，值得我们去了解和品读。在解决这些趣味问题的过程中，我对概率论的兴趣增长了许多。同时，“概率论与数理统计”在我们生活中的应用十分广泛，所以学好这门课程、掌握核心计算方法，将会对我们日后的工作、生活大有裨益。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-495313.html
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