一. 一阶微分方程
1.1 阶数的定义: 看最高次导或微
x
y
′
′
′
+
(
y
′
)
3
+
y
4
xy'''+(y')^3+y^4
xy′′′+(y′)3+y4
\quad
\quad
三阶
y
′
=
2
x
y'=2x
y′=2x
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
\quad
一阶
d
y
=
2
x
d
x
dy=2xdx
dy=2xdx
\quad
\quad
\quad
\quad
一阶
(
y
′
′
)
5
+
2
y
′
=
3
(y'')^5+2y'=3
(y′′)5+2y′=3
\quad
\quad
\quad
二阶
\quad
1.2 通解与特解
例1: 已知一阶微分方程 y ′ = 2 x y'=2x y′=2x, 初始条件 y ( 1 ) = 2 y(1)=2 y(1)=2, 求通解与特解
通解:
y
=
x
2
+
C
y=x^2+C
y=x2+C
特解:
y
=
x
2
+
1
y=x^2+1
y=x2+1
\quad
例2: 微分方程
y
′
=
3
x
2
y'=3x^2
y′=3x2在
y
∣
x
=
1
=
3
y|_{x=1}=3
y∣x=1=3的特解
y
=
y=
y=________
y
=
x
3
+
C
y=x^3+C
y=x3+C 代入x=1
y
=
x
3
+
2
y=x^3+2
y=x3+2
\quad
1.3 公式法
\quad
例3: 求常微分方程
y
′
+
2
x
y
=
2
x
e
−
x
2
y'+2xy=2xe^{-x^2}
y′+2xy=2xe−x2 的通解
P
(
x
)
=
2
x
,
Q
(
x
)
=
2
x
e
−
x
2
P(x)=2x, Q(x)=2xe^{-x^2}
P(x)=2x,Q(x)=2xe−x2
代入公式得
y
=
[
∫
2
x
e
−
x
2
∗
e
∫
2
x
d
x
d
x
+
C
]
∗
e
−
∫
2
x
d
x
y=[\int 2xe^{-x^2}*e^{\int 2xdx}dx+C]*e^{-\int 2xdx}
y=[∫2xe−x2∗e∫2xdxdx+C]∗e−∫2xdx
=
[
∫
2
x
e
−
x
2
∗
e
x
2
d
x
+
C
]
∗
e
−
x
2
=[\int 2xe^{-x^2}*e^{x^2}dx+C]*e^{-x^2}
=[∫2xe−x2∗ex2dx+C]∗e−x2
=
[
∫
2
x
d
x
+
C
]
∗
e
−
x
2
=[\int 2xdx+C]*e^{-x^2}
=[∫2xdx+C]∗e−x2
=
(
x
2
+
C
)
∗
e
−
x
2
=(x^2+C)*e^{-x^2}
=(x2+C)∗e−x2
\quad
例4: 求常微分方程
y
′
−
y
x
=
x
e
x
y'-\frac{y}{x}=xe^x
y′−xy=xex的通解
y
′
+
(
−
1
x
)
y
=
x
e
x
y'+(-\frac{1}{x})y=xe^x
y′+(−x1)y=xex
\quad
例5: 求常微分方程
y
d
x
+
(
x
+
1
)
d
y
=
0
ydx+(x+1)dy=0
ydx+(x+1)dy=0的通解
y
+
(
x
+
1
)
d
y
d
x
=
0
y+(x+1)\frac{dy}{dx}=0
y+(x+1)dxdy=0
y
+
(
x
+
1
)
y
′
=
0
y+(x+1)y'=0
y+(x+1)y′=0
y
′
+
(
1
x
+
1
)
y
=
0
y'+(\frac{1}{x+1})y=0
y′+(x+11)y=0
P
(
x
)
=
1
x
+
1
,
Q
(
x
)
=
0
P(x)=\frac{1}{x+1}, Q(x)=0
P(x)=x+11,Q(x)=0
y
=
[
∫
0
∗
e
∫
1
x
+
1
d
x
d
x
+
C
]
e
−
∫
1
x
+
1
d
x
y=[\int 0*e^{\int \frac{1}{x+1}dx}dx+C]e^{-\int \frac{1}{x+1}dx}
y=[∫0∗e∫x+11dxdx+C]e−∫x+11dx
y
=
[
∫
0
d
x
+
C
]
e
−
ln
(
x
+
1
)
y=[\int 0dx+C]e^{-\ln(x+1)}
y=[∫0dx+C]e−ln(x+1)
=
C
∗
1
x
+
1
=C*\frac{1}{x+1}
=C∗x+11
=
C
x
+
1
=\frac{C}{x+1}
=x+1C
\quad
例6: 求常微分方程
y
′
−
y
=
2
x
e
x
y'-y=2xe^x
y′−y=2xex满足
y
∣
x
=
0
=
2
y|_{x=0}=2
y∣x=0=2的特解
P
(
x
)
=
−
1
,
Q
(
x
)
=
2
x
e
x
P(x)=-1, Q(x)=2xe^x
P(x)=−1,Q(x)=2xex
y
=
[
∫
2
x
e
x
∗
e
∫
−
1
d
x
d
x
+
C
]
e
−
∫
−
1
d
x
y=[\int 2xe^x*e^{\int -1dx}dx+C]e^{-\int -1dx}
y=[∫2xex∗e∫−1dxdx+C]e−∫−1dx
=
[
∫
2
x
e
x
∗
e
−
x
d
x
+
C
]
e
x
=[\int 2xe^x*e^{-x}dx+C]e^x
=[∫2xex∗e−xdx+C]ex
=
[
∫
2
x
d
x
+
C
]
e
x
=[\int 2xdx+C]e^x
=[∫2xdx+C]ex
=
[
x
2
+
C
]
e
x
=[x^2+C]e^x
=[x2+C]ex
y = ( x 2 + 2 ) e x y=(x^2+2)e^x y=(x2+2)ex
\quad
\quad
二. 二阶常系数齐次线性微分方程
求
y
′
′
+
p
y
′
+
q
y
=
0
y''+py'+qy=0
y′′+py′+qy=0的通解步骤:
(1) 写出微分方程的特征方程
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2+pr+q=0
r2+pr+q=0
(2) 求出特征方程的两个根
r
1
,
r
2
r1,r2
r1,r2
(3) 根据特征方程的不同情况, 写出微分方程的通解
| 特征根 | 通解 |
|---|---|
| r 1 ≠ r 2 r_1 ≠r_2 r1=r2 | y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r2x} y=C1er1x+C2er2x |
| r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2 | y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r1x} y=(C1+C2x)er1x |
\quad
例7: 二阶常系数齐次线性微分方程
y
′
′
+
y
′
−
2
y
=
0
y''+y'-2y=0
y′′+y′−2y=0的通解是______
r
2
+
r
−
2
=
0
r^2+r-2=0
r2+r−2=0 解得
x
1
=
−
2
,
x
2
=
1
x_1=-2, x_2=1
x1=−2,x2=1
代入公式得
y
=
C
1
e
−
2
x
+
C
2
e
x
y=C_1e^{-2x}+C_2e^{x}
y=C1e−2x+C2ex
\quad
例8: 二阶常系数齐次线性微分方程
y
′
′
+
y
′
−
6
y
=
0
y''+y'-6y=0
y′′+y′−6y=0的通解是______
r
2
+
r
−
6
=
0
r^2+r-6=0
r2+r−6=0 解得
x
1
=
−
3
,
x
2
=
2
x_1=-3, x_2=2
x1=−3,x2=2
代入公式得
y
=
C
1
e
−
3
x
+
C
2
e
2
x
y=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}
y=C1e−3x+C2e2x文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-495927.html
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