麻省理工学院 - MIT - 线性代数（我愿称之为线性代数教程天花板）_哔哩哔哩_bilibili
MIT—线性代数笔记00 - 知乎 (zhihu.com)
一、正定矩阵
给定一个2x2矩阵 A= ，有四个途径判定矩阵是否正定矩阵：
- 特征值： λ1>0,λ2>0;
- 行列式（所有子行列式）： ，;
- 主元： ，
- 表达式 （x=0除外）。通常这就是正定的定义，而前三条是用来验证正定性的条件。
半正定矩阵
矩阵正好处在判定为正定矩阵的临界点上，称之为半正定矩阵，它具有一个特征值0，是奇异矩阵，只有一个主元，而行列式为0。半正定矩阵特征值大于等于0。
设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≥0，则称A为半正定矩阵，称X'AX为半正定二次型。（其中，X'表示X的转置。）
若对于每个非零实向量X，都有X'AX>0，则称A为正定矩阵，称X'AX为正定二次型。
（正定是大于，半正定是大于等于）
正定矩阵和最小值
如果将矩阵变为，二次型为，从几何图像上看没有最小值点，在原点处有一鞍点。鞍点在某个方向上看是极大值点，在另一方向上是极小值点，实际上最佳观测角度是特征向量的方向。
如果将矩阵变为，主元为正；特征值之积为行列式的值4，特征值和为矩阵的迹22，因此特征值为正；子行列式均为正。矩阵为正定矩阵。
二次型 ，其图像最小值点为原点，一阶偏导数为0，二阶偏导数为正。
微积分中判定最小值点的判据：一阶导数等于零 ，二阶导数为正 。线性代数中判据为二阶导数矩阵正定。
主元就是平方项系数，L矩阵中的行操作数 就是配方项内y的系数。因此这就是为什么主元为正则矩阵为正定矩阵，因为主元是每一个完全平方项的系数。本例中二次型表达式的配方说明了二维的情形，而线代的理论可以将之推广到n维。
正定的作用
【正定】矩阵的应用、判别法证明与【Cholesky分解】_哔哩哔哩_bilibili
正定：唯一全局最小值
半正定：最小值不唯一
不定：无最小值
二、相似矩阵
如何通俗地理解相似矩阵_哔哩哔哩_bilibili
A和B均是nxn方阵，若存在可逆矩阵M，使得 ，则A和B为相似矩阵。
相同点：这两个方阵是同一个线性映射，在不同基下的代数表达；
线性映射是将一个向量映射到另一个向量，
相似矩阵具有相同的特征值；
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-496810.html
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