1-简单回归问题

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了1-简单回归问题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一.梯度下降(gradient descent)
1.预测函数
这里有一组样本点,横纵坐标分别代表一组有因果关系的变量

1-简单回归问题

我们的任务是设计一个算法,让机器能够拟合这些数据,帮助我们算出参数w

1-简单回归问题

我们可以先随机选一条过原点的直线,然后计算所有点到该直线的偏离程度(即误差)

1-简单回归问题

再根据误差大小调整直线的斜率w,这里的y=wx就是预测函数

2.损失函数(loss function)/代价函数(cost function)
对于一个点(x1,y1),误差e1=y1-wx1

1-简单回归问题

这里使用最小平方误差(Ordinary Least Squares, OLS),即将误差平方

1-简单回归问题

将所有点的误差平方再展开,其中x1,y1,n均为已知数

1-简单回归问题

将其相加求平均,再合并同类项
其中a>0

1-简单回归问题

即可表示为

1-简单回归问题

即代价函数cost/损失函数loss

1-简单回归问题

1-简单回归问题

这样就完成了预测函数到代价函数的映射过程,随着左图w的增大,右图的点向右移动

1-简单回归问题

3.梯度计算
我们的目的是实现损失最小,即抛物线取得最小值时参数w的值
假设起始点在曲线上任意一处,寻找最低点的过程就是梯度下降
选择的下降方向是切线方向/梯度的反方向/陡峭程度最大的方向

梯度(gradient)是代价函数的导数
1-简单回归问题

4.学习率(learning rate)
每一次更新参数利用多少误差, 就需要通过一个参数来控制, 这个参数就是学习率,也称为步长。
选择最优学习率是很重要的,因为它决定了我们是否可以迅速收敛到全局最小值。
小的学习率需要多次更新才能达到最低点,并且需要花费很多时间,且很容易仅收敛到局部极小值
学习率过大会导致剧烈的更新,可能总是在全局最小值附近,但是从未收敛到全局最小值
最佳学习率迅速达到最低点

1-简单回归问题

每次新的w=旧的w-斜率*学习率
其中斜率=f导=梯度

1-简单回归问题
循环迭代过程:定义代价函数→选择起始点→计算梯度→按学习率前进→计算梯度→按学习率前进→…到达最低点

二.线性回归(Linear Regression)
线性回归是一种统计学和机器学习中常用的预测方法,用于建立一个自变量(或称为特征)与因变量之间的线性关系模型。它假设自变量和因变量之间存在一个线性关系,并尝试通过拟合一条最佳拟合直线(或超平面)来进行预测。线性回归的目标是通过最小化预测值与实际观测值之间的差异(误差或残差)来找到最佳拟合直线或超平面。

在简单线性回归中,只有一个自变量和一个因变量之间的关系。这可以表示为一条直线的方程:y=wx+b
通过该预测函数我们可以得到误差 e=(wx+b-y)²
误差求和得到损失函数loss
1-简单回归问题
目的是找到最小loss(error)时w和b的值

1-简单回归问题

对于一个二元一次方程组,我们通常使用两式相减的方式求出参数b和w的值。这种可以精确求解的我们叫做闭合解(Closed-form Solution,也称封闭解)
1-简单回归问题
但实际数据是有误差的,我们只能求得近似解
即实际的y=wx+b+ε,这里的ε叫做高斯噪声,由于高斯噪声的存在使得数据有误差
通过x和y的多组数据可以使结果更接近Closed-form Solution
1-简单回归问题

下面使用代码实现二元一次方程组的求解

数据下载:提取码:zn73
数据点集合的每一行表示一个数据点,第一列是自变量 xi,第二列是因变量 yi

1-简单回归问题

1.计算线性回归模型的误差函数
代码通过迭代遍历每个数据点,计算该数据点在回归模型下的预测值与实际观测值之间的误差。然后将每个误差的平方累加到总误差 totalError 中。最后,通过将总误差除以数据点的数量,计算出平均误差并返回。

1-简单回归问题

通过索引操作 points[i,0],我们可以获取第 i 个数据点的自变量 x 的值,因为它位于每行的第一列(索引为 0)
类似地,通过 points[i,1],我们可以获取第 i 个数据点的因变量 y 的值,因为它位于每行的第二列(索引为 1)
b: 回归模型的截距。
w: 回归模型的斜率。
points: 数据点的集合,其中每个数据点由自变量 x 和因变量 y 组成。

def compute_error_for_line_given_points(b,w,points):
    totalError=0
    for i in range(0,len(points)):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        totalError+=(y-(w*x+b))**2
    return totalError/float(len(points))

2.梯度下降中的参数更新
首先初始化截距梯度 b_gradient 和斜率梯度 w_gradient 为 0。然后,通过迭代遍历每个数据点,计算每个数据点对应的梯度值,以便在下一步更新中使用。对于每个数据点,根据当前的截距和斜率计算出预测值,然后根据预测值与实际观测值之间的误差来计算梯度。最后,将所有数据点的梯度累加到总梯度中,并除以数据点的数量 N,以获得平均梯度。接下来使用梯度下降的更新规则来更新截距和斜率。根据当前的截距和斜率值,分别减去学习率乘以对应的梯度,得到新的截距 new_b 和斜率 new_w。最后,将更新后的截距和斜率作为列表返回。

1-简单回归问题
b_current: 当前的截距值。
w_current: 当前的斜率值。
points: 数据点的集合,其中每个数据点由自变量 x 和因变量 y 组成。
learningRate: 学习率,用于控制每次更新的步长。

def step_gradient(b_current,w_current,points,learningRate):
    b_gradient=0
    w_gradient=0
    N=float(len(points))
    for i in range(0,len(points)):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        b_gradient+=(2*(w_current*x+b_current-y))/N  # 对b偏导
        w_gradient+=(2*(w_current*x+b_current-y)*x)/N  # 对w偏导
    new_b=b_current-learningRate*b_gradient
    new_w=w_current-learningRate*w_gradient
    return [new_b,new_w]

3.梯度下降算法的主要循环部分
points: 数据点的集合,其中每个数据点由自变量 x 和因变量 y 组成。
starting_b: 初始的截距值。
starting_w: 初始的斜率值。
learning_rate: 学习率,用于控制每次更新的步长。
num_iterations: 迭代次数,表示要运行梯度下降的步骤数。

import numpy as np
def gradient_decent_runner(points,starting_b,starting_w,learing_rate,num_iterations):
    b=starting_b
    w=starting_w
    for i in range(num_iterations):
        b,w=step_gradient(b,w,np.array(points),learing_rate)
    return [b,w]  # 返回最后一次迭代结果,即最终数据

4.运行

def run():
    points=np.genfromtxt("data.csv",delimiter=",")  # data.csv更换为文件的存放地址
    learning_rate=0.0001
    initial_b=0
    initial_w=0
    num_iterations=1000
    print("Starting gradient descent at b={0},w={1},error={2}".format(initial_b,initial_w,compute_error_for_line_given_points(initial_b,initial_w,points)))
    [b,w]=gradient_descent_runner(points,initial_b,initial_w,learning_rate,num_iterations)
    print("After {0} interations b={1},w={2},error={3}".format(num_iterations,b,w,compute_error_for_line_given_points(b,w,points)))

这里的np.genfromtxt 是 NumPy 库中的一个函数,用于从文本文件加载数据并生成一个 NumPy 数组。该函数可以处理各种格式的文本数据,包括逗号分隔值(CSV)文件和具有不同分隔符的文件。
例如:存在一个名为 ‘data.csv’ 的 CSV 文件,其中的数据使用逗号作为分隔符。np.genfromtxt 函数将加载该文件的数据并生成一个 NumPy 数组,存储在变量 data 中,使用 print(data) 即可打印加载的数据。

import numpy as np
# 从名为 'data.csv' 的 CSV 文件中加载数据
data = np.genfromtxt('data.csv', delimiter=',')
# 打印加载的数据
print(data)

完整代码

import numpy as np
def compute_error_for_line_given_points(b,w,points):
    totalError=0
    for i in range(0,len(points)):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        totalError+=(y-(w*x+b))**2
    return totalError/float(len(points))
def step_gradient(b_current,w_current,points,learningRate):
    b_gradient=0
    w_gradient=0
    N=float(len(points))
    for i in range(0,len(points)):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        b_gradient+=(2*(w_current*x+b_current-y))/N
        w_gradient+=(2*(w_current*x+b_current-y)*x)/N
    new_b=b_current-learningRate*b_gradient
    new_w=w_current-learningRate*w_gradient
    return [new_b,new_w]
def gradient_descent_runner(points,starting_b,starting_w,learing_rate,num_iterations):
    b=starting_b
    w=starting_w
    for i in range(num_iterations):
        b,w=step_gradient(b,w,np.array(points),learing_rate)
    return [b,w]
def run():
    points=np.genfromtxt("D:/Deep-Learning-with-PyTorch-Tutorials/lesson04-简单回归案例实战/data.csv",delimiter=",")
    learning_rate=0.0001
    initial_b=0
    initial_w=0
    num_iterations=1000
    print("Starting gradient descent at b={0},w={1},error={2}".format(initial_b,initial_w,compute_error_for_line_given_points(initial_b,initial_w,points)))
    [b,w]=gradient_descent_runner(points,initial_b,initial_w,learning_rate,num_iterations)
    print("After {0} interations b={1},w={2},error={3}".format(num_iterations,b,w,compute_error_for_line_given_points(b,w,points)))
run()

运行结果

1-简单回归问题文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-497512.html

到了这里,关于1-简单回归问题的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 【Matlab算法】梯度下降法(Gradient Descent)(附MATLAB完整代码)

    梯度下降法 是一种用于最小化函数的迭代优化算法。其基本思想是通过计算函数的梯度 (导数),找到函数的最小值点。在梯度下降法中,参数(或变量)沿着负梯度的方向进行更新,以降低函数值。 以下是梯度下降法的基本描述: 选择初始点: 选择一个初始点作为优化的起

    2024年01月19日
    浏览(44)
  • 鲍鱼数据集案例分析-预测鲍鱼年龄(线性回归/梯度下降法实操)

    数据集来源UCI Machine Learning Repository: Abalone Data Set 目录 一、数据集探索性分析 二、鲍鱼数据预处理 1.对sex特征进行OneHot编码,便于后续模型纳入哑变量 2.添加取值为1的特征 3. 计算鲍鱼的真实年龄 4.筛选特征 5. 将鲍鱼数据集划分为训练集和测试集 三、实现线性回归和岭回归

    2024年02月08日
    浏览(73)
  • 机器学习与深度学习——使用paddle实现随机梯度下降算法SGD对波士顿房价数据进行线性回归和预测

    随机梯度下降(SGD)也称为增量梯度下降,是一种迭代方法,用于优化可微分目标函数。该方法通过在小批量数据上计算损失函数的梯度而迭代地更新权重与偏置项。SGD在高度非凸的损失表面上远远超越了朴素梯度下降法,这种简单的爬山法技术已经主导了现代的非凸优化。

    2024年02月03日
    浏览(54)
  • 机器学习——线性回归、梯度下降

    监督学习 :学习数据带有标签 无监督学习 :没有任何的标签,或者有相同的标签 其他:强化学习、推荐系统等 还是房价预测的例子, 训练集如下: 定义各个变量的含义如下: m——代表训练集中实例的数量 x——代表特征/输入变量 y——代表目标变量/输出变量 (x,y)——代

    2024年02月07日
    浏览(48)
  • 线性回归梯度下降py实现

    2024年02月02日
    浏览(40)
  • 机器学习(二):线性回归之梯度下降法

    ✍ 作者简介: i阿极 ,CSDN Python领域新星创作者, 专注于分享python领域知识。 ✍ 本文录入于《机器学习案例》 ,本专栏精选了经典的机器学习算法进行讲解,针对大学生、初级数据分析工程师精心打造,对机器学习算法知识点逐一击破,不断学习,提升自我。 ✍ 订阅后,

    2023年04月22日
    浏览(44)
  • 【机器学习(二)】线性回归之梯度下降法

    ✍ 作者简介: i阿极 ,CSDN Python领域新星创作者, 专注于分享python领域知识。 ✍ 本文录入于《机器学习案例》 ,本专栏精选了经典的机器学习算法进行讲解,针对大学生、初级数据分析工程师精心打造,对机器学习算法知识点逐一击破,不断学习,提升自我。 ✍ 订阅后,

    2023年04月14日
    浏览(43)
  • 【机器学习】P2 线性回归、损失函数与梯度下降

    线性回归简单的说就是线性函数; 线性回归属于机器学习 回归问题; 在线性回归建立的线性关系的模型中,假设目标变量和自变量之间存在一种线性关系,模型的目标是找到最佳的拟合线,是的模型对于未知的数据能够进行最准确的预测; 线性回归模型的一般形式为: y

    2023年04月08日
    浏览(41)
  • 机器学习:基于梯度下降算法的逻辑回归实现和原理解析

    当涉及到二元分类问题时,逻辑回归是一种常用的机器学习算法。它不仅简单而且有效,通常是入门机器学习领域的第一步。本文将介绍逻辑回归的基本概念、原理、应用场景和代码示例。 逻辑回归是一种用于解决二元分类问题的统计学习方法。尽管其名称中包含\\\"回归\\\"一词

    2024年02月09日
    浏览(51)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包