回溯法解决运动员配对问题
摘要
针对运动员最佳配对问题，本文利用回溯法寻求竞赛优势得分最优解，研究男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。针对这一问题，本题采用的是男运动员选女运动员的方法，构成了一棵排列树。树的结点表示女运动员，排列树的层数表示男运动员，经过算法处理后，输出符合最优值的编号。算例结果显示：男1号和女1号组合、男2号和女3号组合，男3号和女2号组合，竞赛优势最大。该算法简便、易懂，又有比较好的实用性和技巧性。
1、问题描述
羽毛球队有男女运动员各n 人。给定2 个n×n 矩阵P 和Q。P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势。由于技术配合和心理状态等各种因素影响，P[i][j] 不一定等于Q[j][i] 。男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]*Q[j][i] 。设计一个算法，计算男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。
2、问题分析
该问题输出为男女人员的搭配问题，由于运动员不能重复选择，因此，此问题的解空间树是一个排列树，可以使用排列树回溯法模板进行算法设计。
假设n为羽毛球队有男女运动员数量，P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势
本题采用的是男运动员选女运动员的方法，这样就构成了一棵排列树。G表示女运动员，排列树的层数表示男运动员。
下面考虑剪枝函数，因为当人员没有选完时，不确定最终结果是否优于最优解，所以回溯过程中不需要剪枝函数进行剪枝，只有当一条分支运行到叶子结点时，才需要判断可行解于最优解的关系，考虑是否更新最优解。
最后考虑输出结果，输出结果应该时是包含运动员编号的集合，用x[i]表示，原数组存放初始编号，经过算法处理后，输出符合最优值的编号。
3、算法设计
首先将第 i 位男运动员与第 j 位女运动员的优势计算到二维数组j[ i ][ j ] 中，然后再在这个二维数组选 n 个组合（组合即对应每个点(i , j)），要求 n 个点不可同行或同列，将 n 个这样子符合条件的点求和，记录最大值。
第 i 层回溯对应第 i 位男运动员，该层回溯中应该选取一位没有被选择过的女运动员。为了记录女运动员是否被选择过，我们创建数组 x[ i ] 来记录，依次累加每一层的优势。当 i > n 时即为回溯的终点，此时更新最大的优势和。
4、程序代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int if_OK(int c[], int K){ // 判断是否为一个解
int i，flag;
int arr[21] = {0};
for(i = 1; i <= K; i++){
arr[c[i]] += 1;
}
for(i = 1, flag = 1; i <= K; i++){
if(arr[i] != 1){
flag = 0;
break;
}
}
return flag;
}
int is_part(int c[], int K){ // 判断是否为部分解
int i, flag;
int arr[21] = {0};
for(i = 1; i <= K; i++){
arr[c[i]] += 1;
}
for(i = 1, flag = 0; i <= K; i++){ // 这里与 if_OK 有区别
if(arr[i] > 1){
flag = 0;
break;
}
else if(arr[i] == 0){
flag = 1;
}
}
return flag;
}
int func(int c[], int f[21][21], int K){ // 计算该解情况下，男女运动员竞赛优势的总和
int i, count = 0;
for(i = 1; i <= K; i++){
count += f[i][c[i]];
}
return count;
}
int main()
{ int i, j;
int N;
scanf("%d", &N);
int p[21][21], q[21][21], f[21][21]; // p 记录男运动员的竞赛优势、 q记录女运动员的、 f是男女运动员匹配后的 。并且数组都是从 1开始的。
for(i = 1; i <= N; i++){
for(j = 1; j <= N; j++){
scanf("%d", &(p[i][j]));
}
}
for(i = 1; i <= N; i++){
for(j = 1; j <= N; j++){
scanf("%d", &(q[i][j]));
f[j][i] = q[i][j] * p[j][i]; // 注意此处f、 p、 q的数组下标 ！！！
}
}
int com[21] = {0}; // 用来记录男女队员的匹配， com【i】中的 i 代表男队员、com【i】代表女队员
int k = 1, tmp = 0, count = 0; //k队员编号，tmp是当前解的优势值， count是最优的优势值
while(k >= 1 && k <= N){ // 注意 k <= N
while(com[k] <= N){
com[k] = com[k] + 1;
if(if_OK(com, N)){ // 表示该com【】为一组解
tmp = func(com, f, N);
if(tmp > count) count = tmp; // 记录最优解
break;
}
else if(is_part(com, N)) k = k+1; // 部分解
}
com[k] = 0;
k = k-1;
}
printf("%d" , count);
return 0;
}
5、运行结果
假设n为羽毛球队有男女运动员数量，P[i][j] 是男运动员i 和女运动员j 配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j] 是女运动员i 和男运动员j 配合的女运动员竞赛优势
本题采用的是男运动员选女运动员的方法，这样就构成了一棵排列树。G表示女运动员，排列树的层数表示男运动员。如第一层的G1=20表示，男运动员1号选女运动员1号的男女双方竞赛优势为20。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-497821.html
6、运行结果分析
输出结果应该时是运动员编号的集合，用x [i]表示，原数组存放初始编号，经过算法处理后，输出符合最优值的编号。
由排列树和输出结果可知，采用男运动员选女运动员的策略，其解空间是{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}竞赛优势最大为20+20+12=52，最优集合编号为x={1,3,2},即男1号和女1号组合、男2号和女3号组合，男3号和女2号组合，竞赛优势最大。时间复杂度分析：算法要动态的生成排列树，在每个节点处花费O(1)的时间，排列树中结点的个数为n!，因此，算法的时间复杂度为O（n!）。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-497821.html
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