数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

  本篇为插值法专栏第四篇内容讲述,此章主要讲述 Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码,其中也给出详细的例子让大家更好的理解Hermite插值法
提示 之前已经介绍牛顿插值法三次样条插值,如果没看过前两篇的可以点击以下链接阅读

  1. 数值分析(一)牛顿插值法
  2. 数值分析(二)三次样条插值法
  3. 数值分析(二续) 三次样条插值二类边界完整matlab代码

一、Hermite插值

  在许多实际应用中,不仅要求函数值相等,而且要求若干阶导数也相等。

1. Hermite定理

  定义:满足函数值相等且导数也相等的插值方法 f ( x ) ≈ φ ( x ) f(x) \approx \varphi (x) f(x)φ(x) φ ( x i ) = f ( x i ) ( i = 0 , 1 , … , n ) \varphi ({x_i}) = f({x_i}) (i=0,1,\ldots ,n) φ(xi)=f(xi)(i=0,1,,n) φ ′ ( x i ) = f ′ ( x i ) \varphi '({x_i}) = f'({x_i}) φ(xi)=f(xi) φ ( 2 ) ( x i ) = f ( 2 ) ( x i ) \varphi ^{(2)} ({x_i}) = f ^{(2)} ({x_i}) φ(2)(xi)=f(2)(xi) ⋮ \vdots φ ( m ) ( x i ) = f ( m ) ( x i ) \varphi ^{(m)} ({x_i}) = f ^{(m)} ({x_i}) φ(m)(xi)=f(m)(xi)

定理:设 f ( x ) ∈ C n [ a , b ] , x 0 , . . . , x n f(x) \in {C^n}[a,b],{x_0},...,{x_n} f(x)Cn[a,b],x0,...,xn [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的互异节点,则 f [ x 0 , . . . , x n ] f[{x_0},... ,{x_n}] f[x0,...,xn] 是其变量的连续函数

2. 重节点差商

  注意: 差商知识不清楚的话可以看之前这篇 数值分析(一)牛顿插值法 中有对差商详细的讲解
f [ x 0 , x 0 ] = lim ⁡ x 1 → x 0 f [ x 0 , x 1 ] = f ( x 1 ) − f ( x 0 ) x 1 − x 0 = f ′ ( x 0 ) f[{x_0},{x_0}] = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} f[{x_0},{x_1}] = \frac{{f({x_1}) - f({x_0})}}{{{x_1} - {x_0}}} = f'({x_0}) f[x0,x0]=x1x0limf[x0,x1]=x1x0f(x1)f(x0)=f(x0)
f [ x 0 , x 0 , x 0 ] = lim ⁡ x 1 → x 0 x 2 → x 0 f [ x 0 , x 1 , x 2 ] = 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) f[{x_0},{x_0},{x_0}] = \mathop{\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}\\{{x_2} \to {x_0}}}f[{x_0},{x_1},{x_2}] = \frac{1}{{2!}}f''({x_0}) f[x0,x0,x0]=x1x0x2x0limf[x0,x1,x2]=2!1f′′(x0)
一般 n n n 阶重节点差商定义为:
f [ x 0 , x 0 , ⋯   , x 0 ] = lim ⁡ x i → x 0 f [ x 0 , x 1 , ⋯   , x n ] = 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) f[{x_0},{x_0},\cdots,{x_0}] = \mathop{\lim }\limits_{{x_i} \to {x_0}}f[{x_0},{x_1},\cdots,{x_n}] = \frac{1}{{n!}}f^{(n)}({x_0}) f[x0,x0,,x0]=xix0limf[x0,x1,,xn]=n!1f(n)(x0)

3. 重节点Newton插值

  在Newton插值公式中,令 x i → x 0 , i = 1 , ⋯   , n x_i \to x_0, i = 1, \cdots, n xix0,i=1,,n,则 N n ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + ⋯ + f [ x 0 , x 1 , ⋯   , x n ] ∏ i = 1 n − 1 ( x − x i ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n N_n(x) = f(x_0)+f[x_0, x_1](x - x_0)+ \cdots + f[x_0, x_1, \cdots, x_n]\prod_{i=1 }^{n-1} (x-x_i) \\ = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)++f[x0,x1,,xn]i=1n1(xxi)=f(x0)+f(x0)(xx0)++n!f(n)(x0)(xx0)n

担心有些同学看不懂推导,解释一下如何转化为第二个等式(即,Taylor 插值多项式):

将1.1中讲述的重节点差商 带入Newton插值公式中: lim ⁡ x i → x 0 f [ x 0 , x 1 , ⋯   , x n ] = 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) \mathop{\lim }\limits_{{x_i} \to {x_0}}f[{x_0},{x_1},\cdots,{x_n}]=\frac{1}{{n!}}f^{(n)}({x_0}) xix0limf[x0,x1,,xn]=n!1f(n)(x0)所有的 x i → x 0 x_i \to x_0 xix0,所以 ∏ i = 1 n − 1 ( x − x i ) \prod_{i=1 }^{n-1} (x-x_i) i=1n1(xxi) 就变成了 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (xx0)n

插值余项 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1

4. Hermite 插值公式

  一般来说,给定 m + 1 m+1 m+1 个插值条件,就可以构造出一个 m m m 次Hermite 插值多项式,接下来介绍两个典型的Hermite插值:三点三次 Hermite插值 和 两点三次 Hermite 插值

4.1 三点三次 Hermite插值

  插值节点 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1, x_2 x0x1x2
  插值条件 P ( x i ) = f ( x i ) , i = 0 , 1 , 2 , P ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) P(x_i) = f(x_i),i=0,1,2,P'(x_1) = f'(x_1) P(xi)=f(xi)i=0,1,2P(x1)=f(x1)

  设: P ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) + f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + A ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) P(x) = f(x_0) + f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) P(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+A(xx0)(xx1)(xx2)
P ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) P'(x_1) = f'(x_1) P(x1)=f(x1)代入可得 A = f ′ ( x 1 ) − f [ x 0 , x 1 ] − f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) A = \frac{f'(x_1)-f[x_0,x_1] - f[x_0,x_1,x_2](x_1-x_0)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} A=(x1x0)(x1x2)f(x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2](x1x0)
由于 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x0,x1,x2 R ( x ) R(x) R(x)的零点,且 x 1 x_1 x1是二重零点,故可设,余项公式 R ( x ) = f ( x ) − P ( x ) = k ( x ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) 2 ( x − x 2 ) R(x) = f(x) - P(x) = k(x)(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2) R(x)=f(x)P(x)=k(x)(xx0)(xx1)2(xx2)Lagrange 插值余项公式的推导过程类似,可得
R ( x ) = f ( 4 ) ( ξ x ) 4 ! ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) 2 ( x − x 2 ) R(x) = \frac{f^{(4)}(\xi_x)}{4!}(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2) R(x)=4!f(4)(ξx)(xx0)(xx1)2(xx2)
其中 ξ x \xi_x ξx 位于由 x 0 , x 1 , x 2 x_0, x_1, x_2 x0,x1,x2 x x x所界定的区间内

4.2 两点三次 Hermite插值

  插值节点 x 0 , x 1 x_0,x_1 x0x1
  插值条件 P ( x i ) = f ( x i ) = y i , P ′ ( x i ) = f ′ ( x i ) = m i , i = 0 , 1 P(x_i) = f(x_i)=y_i,P'(x_i) = f'(x_i)=m_i,i=0,1 P(xi)=f(xi)=yiP(xi)=f(xi)=mii=0,1

  模仿Lagrange 多项式的思想,设
H 3 ( x ) = y 0 α 0 ( x ) + y 1 α 1 ( x ) + m 0 β 0 ( x ) + m 1 β 1 ( x ) H_3(x) = y_0\alpha_0(x)+y_1\alpha_1(x)+m_0\beta_0(x)+m_1\beta_1(x) H3(x)=y0α0(x)+y1α1(x)+m0β0(x)+m1β1(x)其中 α 0 ( x ) , α 1 ( x ) , β 0 ( x ) , β 1 ( x ) \alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x) α0(x),α1(x),β0(x),β1(x)均为3次多项式,且满足 α j ( x i ) = δ i j , α j ′ ( x i ) = 0 , β j ( x i ) = 0 , β j ′ ( x i ) = δ j i ( i , j = 0 , 1 ) \alpha_j(x_i) = \delta_{ij}, \alpha'_j(x_i)=0,\\ \beta_j(x_i)=0, \beta'_j(x_i) = \delta_{ji} \\ (i, j =0, 1) αj(xi)=δij,αj(xi)=0,βj(xi)=0,βj(xi)=δji(i,j=0,1)

上述中的 δ i j \delta_{ij} δij表达式在Lagrange多项式中提到过,怕有些同学忘了这里帮忙回顾一下
l k ( x i ) = δ k i = { 1 ( i = k ) 0 ( i ≠ k ) l_k(x_i) = \delta_{ki} = \left \{\begin{matrix}1&(i=k) \\ 0&(i \ne k)\end{matrix}\right. lk(xi)=δki={10(i=k)(i=k)

将插值条件代入立即可得 α 0 ( x ) \alpha_0(x) α0(x)求解过程

  Step 1:根据前面可以得到: α 0 ( x 0 ) = 1 , α 0 ′ ( x 0 ) = 0 , α 0 ( x 1 ) = 0 , α 0 ′ ( x 1 ) = 0 \alpha_0(x_0) = 1, \alpha'_0(x_0)=0, \alpha_0(x_1) = 0, \alpha'_0(x_1)=0 α0(x0)=1,α0(x0)=0,α0(x1)=0,α0(x1)=0

  Step 2:由上面提到过 α 0 ( x ) , α 1 ( x ) , β 0 ( x ) , β 1 ( x ) \alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x) α0(x),α1(x),β0(x),β1(x)都是3次多项式, α 0 ( x 1 ) = 0 , α 0 ′ ( x 1 ) = 0 \alpha_0(x_1) = 0, \alpha'_0(x_1)=0 α0(x1)=0,α0(x1)=0,根据以上条件可以构造函数为: α 0 ( x ) = ( a x + b ) ( x − x 1 x 0 − x 1 ) 2 \alpha_0(x) = (ax + b)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2 α0(x)=(ax+b)(x0x1xx1)2
  Step 3:将 α 0 ( x 0 ) = 1 , α 0 ′ ( x 0 ) = 0 \alpha_0(x_0) = 1, \alpha'_0(x_0) = 0 α0(x0)=1,α0(x0)=0 代入上式,可以求解得到 a = − 2 x 0 − x 1 , b = 3 x 0 − x 1 x 0 − x 1 = 1 + 2 x 0 x 0 − x 1 a = -\frac{2}{x_0-x_1}, b = \frac{3x_0-x_1}{x_0-x_1} = 1+ \frac{2x_0}{x_0-x_1} a=x0x12,b=x0x13x0x1=1+x0x12x0
  Step 4:将求得出来的 a , b a, b a,b 代入到构造的函数 α 0 ( x ) \alpha_0(x) α0(x) 中,即得: α 0 ( x ) = ( 1 + 2 x − x 0 x 1 − x 0 ) ( x − x 1 x 0 − x 1 ) 2 \alpha_0(x) = (1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2 α0(x)=(1+2x1x0xx0)(x0x1xx1)2

注意:我在推公式的过程感觉是2前面是个减号(很容易出现自己推导和给出的不一致),我仔细一看发现是这么一回事,那么我来把省略的一些步骤给他详细写一下
a x + b = − 2 x x 0 − x 1 + 1 + 2 x 0 x 0 − x 1 = 1 − 2 x − x 0 x 0 − x 1 = 1 + 2 x − x 0 x 1 − x 0 ax+b = -\frac{2x}{x_0-x_1}+1+ \frac{2x_0}{x_0-x_1} = 1 - 2\frac{x-x_0}{x_0-x_1} = 1 + 2\frac{x-x_0}{x_1-x_0} ax+b=x0x12x+1+x0x12x0=12x0x1xx0=1+2x1x0xx0才发现将-放到了分母

同理: α 1 ( x ) = ( 1 + 2 x − x 1 x 0 − x 1 ) ( x − x 0 x 1 − x 0 ) 2 \alpha_1(x) = (1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 α1(x)=(1+2x0x1xx1)(x1x0xx0)2

类似得可以得到: β 0 ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 x 0 − x 1 ) 2 \beta_0(x) = (x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2 β0(x)=(xx0)(x0x1xx1)2 β 1 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 0 x 1 − x 0 ) 2 \beta_1(x) = (x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 β1(x)=(xx1)(x1x0xx0)2

满足插值条件 P ( x 0 ) = f ( x 0 ) = y 0 , P ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = m 0 P ( x 1 ) = f ( x 1 ) = y 1 , P ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) = m 1 P(x_0) = f(x_0)=y_0,P'(x_0) = f'(x_0)=m_0 \\ P(x_1) = f(x_1)=y_1,P'(x_1) = f'(x_1)=m_1 P(x0)=f(x0)=y0P(x0)=f(x0)=m0P(x1)=f(x1)=y1P(x1)=f(x1)=m1 的三次Hermite插值多项式为
H 3 ( x ) = y 0 ( 1 + 2 x − x 0 x 1 − x 0 ) ( x − x 1 x 0 − x 1 ) 2 + y 1 ( 1 + 2 x − x 1 x 0 − x 1 ) ( x − x 0 x 1 − x 0 ) 2 + m 0 ( x − x 0 ) ( x − x 1 x 0 − x 1 ) 2 + m 1 ( x − x 1 ) ( x − x 0 x 1 − x 0 ) 2 H_3(x) = y_0(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2+y_1 (1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 \\ +m_0(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2+m_1(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2 H3(x)=y0(1+2x1x0xx0)(x0x1xx1)2+y1(1+2x0x1xx1)(x1x0xx0)2+m0(xx0)(x0x1xx1)2+m1(xx1)(x1x0xx0)2

余项 R 3 ( x ) = f ( 4 ) ( ξ x ) 4 ! ( x − x 0 ) 2 ( x − x 1 ) 2 R_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi_x)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_1)^2 R3(x)=4!f(4)(ξx)(xx0)2(xx1)2其中 ξ x ∈ ( x 0 , x 1 ) \xi_x \in (x_0, x_1) ξx(x0,x1)

4.3 2 n + 1 2n+1 2n+1次Hermite插值多项式

  由上面 4.2 中给出了 α 0 ( x ) , α 1 ( x ) , β 0 ( x ) , β 1 ( x ) \alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x) α0(x),α1(x),β0(x),β1(x) 的表达式,那么依次类推推导出 2 n + 1 2n+1 2n+1 次Hermite插值多项式,且条件为 H ( x i ) = f ( x i ) , H ′ ( x i ) = f ′ ( x i ) , ( i = 0 , 1 , ⋯   , n ) H(x_i) = f(x_i),H'(x_i) = f'(x_i),(i=0,1,\cdots,n) H(xi)=f(xi)H(xi)=f(xi)(i=0,1,,n)
  求解: α j ( x ) \alpha_j(x) αj(x) β j ( x ) \beta_j(x) βj(x) ( j = 0 , 1 , ⋯   , n ) (j = 0,1,\cdots,n) (j=0,1,,n) α j ( x ) = [ 1 − 2 ( x − x j ) ∑ k = 0 k ≠ j n 1 x j − x k ] l j 2 ( x ) \alpha_j(x) = [1-2(x-x_j)\sum_{\begin{matrix} k = 0\\ k\ne j \end{matrix}}^{n}\frac{1}{x_j-x_k}]l_j^2(x) αj(x)=[12(xxj)k=0k=jnxjxk1]lj2(x)
β j ( x ) = ( x − x j ) l j 2 ( x ) \beta_j(x) = (x-x_j)l_j^2(x) βj(x)=(xxj)lj2(x)
H 2 n + 1 ( x ) = ∑ j = 0 n [ 1 − 2 ( x − x j ) ∑ k = 0 k ≠ j n 1 x j − x k ] l j 2 ( x ) f ( x j ) + ∑ j = 0 n ( x − x j ) l j 2 ( x ) f ′ ( x j ) H_{2n+1}(x) = \sum_{j=0}^{n}[1-2(x-x_j)\sum_{\begin{matrix} k = 0\\ k\ne j \end{matrix}}^{n}\frac{1}{x_j-x_k}]l_j^2(x)f(x_j)+\sum_{j=0}^{n}(x-x_j)l_j^2(x)f'(x_j) H2n+1(x)=j=0n[12(xxj)k=0k=jnxjxk1]lj2(x)f(xj)+j=0n(xxj)lj2(x)f(xj)

上述中的 l j ( x ) l_j(x) lj(x) 在 Lagrange 多项式中提到过不太清楚得同学可以去回顾一下

二、Hermite插值算法及matlab代码

Matlab 版本号 2022b

1. 2 n + 1 2n+1 2n+1次Hermite插值matlab代码实现

function y=Hermitezi(X,Y,Y1,x)
% 2n+1次Hermite插值函数
%   X为已知数据点的x坐标
%   Y为已知数据点的y坐标
%   Y1为数据点y值导数
%   x0为插值点的x坐标
if(length(X) == length(Y))
    if(length(X) == length(Y1))
        n=length(X);
    else
        disp('y和y的导数维数不相等');
        renturn;
    end
  else
    disp('x和y的维数不相等');
    return;
end
%以上为输入判断和确定“n”的值
m=length(x);
for t=1:m
    z=x(t);s=0.0;
  for i=1:n
    h=1.0;
    a=0.0;
    for j=1:n
        if(j~= i)
            h=h*(z-X(j))^2/((X(i)-X(j))^2);%求得值为(li(x))^2
            a=a+1/(X(i)-X(j));   %求得ai(x)表达式之中的累加部分
        end
    end
   s=s+h*((X(i)-z)*(2*a*Y(i)-Y1(i))+Y(i));
  end
y(t)=s;
end
end

2. 例题

数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码
主函数:

x=[0,1];
y=[1,2];
y1=[0.5,0.5];
y=Hermitezi(x,y,y1,0.724)

结果:
数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码
数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码

三、总结

  这篇blog我推迟了1年才开始写,本应该很早就把这篇写完,由于比较忙遇到一些事情,现在重新得拾起开始撰写分享给大家,也非常感谢大家对我的关注,今年的计划也是将这个插值法专栏更新完,之后会再转换到另一个专栏的撰写。下方有专栏链接,可以订阅一下防止找不到。

四、插值法专栏

专栏链接:插值法专栏,如果对你有帮助的话可以点个赞,点个订阅,我将完善此专栏文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-497897.html

  1. 数值分析(一) 牛顿插值法及matlab代码
  2. 数值分析(二) 三次样条插值法matlab程序
  3. 数值分析(二续) 三次样条插值二类边界完整matlab代码

到了这里,关于数值分析(四) Hermite(埃尔米特)插值法及matlab代码的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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    要求 1、 利用Lagrange插值公式 L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( ∏ i = 0 , i ≠ k n x − x i x k − x i ) y k {L_n}(x) = sumlimits_{k = 0}^n {left( {prodlimits_{i = 0,i ne k}^n {frac{{x - {x_i}}}{{{x_k} - {x_i}}}} } right)} {y_k} L n ​ ( x ) = k = 0 ∑ n ​ ( i = 0 , i  = k ∏ n ​ x k ​ − x i ​ x − x i ​ ​ ) y k ​ 编写出

    2024年02月07日
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  • 浅谈拉格朗日插值法

    好像FFT要用到,所以就学习一手 版题 其意义在于: 理解一下: 就是把一个足球踢出去,假设球始终在一个平面上飞行,它的轨迹就可以抽象为 (f(x)) (假设这个函数至于时间有关) 现在你有一些照片,所以你可以得到某几个时间点球的位置,想要还原出这个函数 (f(x)) 的

    2023年04月25日
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  • 数学建模之插值法

    数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“ 模拟产生 ”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。 那什么是插值法? 插值法又可以分

    2024年02月03日
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  • 上采样(最近邻插值、双线性插值法、反池化、转置卷积)

    一般图像分割的时候,需要对图像进行像素级别的分类,因此在卷积提取到抽象特征后需要通过上采样将feature map还原到原图大小,在FCN和U-net等网络中都提到了上采样的操作,这里会一些上采样的方法进行总结。 最简单的图像缩放算法就是最近邻插值,也称作零阶插值,就

    2024年02月05日
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  • 数学建模学习笔记(一):插值法

    本文主要内容是分享博主在学习MATLAB插值与拟合过程中的一些笔记与见解,并记录使用代码实现的过程 一维插值问题可描述为:已知函数在 x 0 , x 1 , … , x n x_0,x_1,…,x_n x 0 ​ , x 1 ​ , … , x n ​ 处的值 y 0 , y 1 , … , y n y_0,y_1,…,y_n y 0 ​ , y 1 ​ , … , y n ​ ,求简单函数 p (

    2024年02月06日
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  • Matlab图像处理-灰度插值法

    最近邻法 最近邻法是一种最简单的插值算法,输出像素的值为输入图像中与其最邻近的采样点的像素值。是将 ( u 0 , v 0 ) (u_0,v_0) 点最近的整数坐标 u , v (u,v) 点的灰度值取为 ( u 0 , v 0 ) (u_0,v_0) 点的灰度值。 在 ( u 0 , v 0 ) (u_0,v_0) 点各相邻像素间灰度变化较小时,这种方法是一

    2024年02月10日
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