固定翼飞机数学建模入门（姿态角篇）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了固定翼飞机数学建模入门（姿态角篇）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本文主要简单介绍固定翼飞机的数学建模的一般形式与原理，读者姥爷们可以跟着在草稿纸上手动推导一次，理解会更加深刻！

1. 固定翼飞机的飞行原理

一般地，多旋翼飞机的飞行原理简单而易懂：通过机身装备的螺旋桨的转动产生升力，进而获得 $z$ 轴上的上下垂直移动。通过调整某个/某几个螺旋桨的转速，就能够实现俯仰、滚转、偏航的姿态调整。从力学基础角度看，螺旋桨同时增大/降低转速可以实现多旋翼的上升/下降，不同螺旋桨之间的转速差引起的转矩则能够实现姿态机动。

另一方面，由于多旋翼的控制通道往往是解耦的，因而其飞控算法容易实现，调参难度低，控制律设计也相对容易，经常作为专业相关学生的入门接触对象。

与旋翼机相比，固定翼飞机历史悠久，飞行难度高，飞行条件苛刻，力学方程更加复杂，控制律更难设计。其飞行以流体力学为基础，通过飞行过程中机翼上下表面的压差提供升力，因而“无速度就无升力”。固定翼的俯仰、滚转、偏航均通过机翼和尾翼的舵面来控制。

同时，固定翼飞机的数学模型往往相互耦合，难以设计控制律，且实际工业中往往通过控制左/右副翼、水平稳定翼、垂直稳定翼、方向舵、升降舵、推力等等参数以达到控制的目的，因而工业上固定翼飞机的控制律设计更加复杂。

本文以简化后的固定翼数学建模为基础，在牛顿–欧拉方程基础上建立固定翼的数学模型。

2. 姿态角设置

根据目前最默认的设置，滚转、俯仰、偏航分别为欧拉角 $\varphi$ 、 $\theta$ 、 $\psi$ （机体坐标系），而在地球坐标系下，三个通道的速度分别表示为 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 。二者之间通过坐标系转换矩阵进行转换：
$\left[ \begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix} \right] = R_e^b \left[ \begin{matrix} \dot \varphi \\ \dot \theta \\ \dot \psi \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & - \sin \theta \\ 0 & \cos \varphi & \sin \varphi \cos \theta \\ 0 & -\sin \varphi & \cos \varphi \cos \theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \dot \varphi \\ \dot \theta \\ \dot \psi \end{matrix} \right]$

3. 牛顿–欧拉方程

牛顿–欧拉方程如下：
$\dot \Omega^b = \left( J^b \right) ^ {-1} \left( M^b - \Omega^b \times \left( J^b \cdot \Omega^b \right) \right) \tag{1}$ 其中 $\Omega = \left[ \begin{matrix} p & q & r \end{matrix}\right]^T$ 为姿态角矩阵， $J^b$ 为机体坐标系下固定翼的转动惯量矩阵：
$J^b = \left[ \begin{matrix} J_x & 0 & J_{xz} \\ 0 & J_y & 0 \\ J_{zx} & 0 & J_z \end{matrix} \right] \tag{2}$ 而 $M^b$ 为外力在俯仰、滚转、偏航三通道上的力矩：
$M^b = \left[ \begin{matrix} \bar q Sb E_L \\ \bar q S \bar c E_M \\ \bar q Sb E_N \end{matrix} \right] \tag{3}$ 其中 $\bar q = \frac{1}{2} \rho V_T^2$ 为空气动压， $b$ 为翼展， $\bar c$ 为机翼平均弦长； $E_M, E_L, E_N$ 分别为滚转、俯仰、偏航力矩系数，各自表达式如下：
$\begin{aligned} E_L &= C_{\bar L \beta} \cdot \beta + C_{L \delta_r} \cdot \delta_r + C_{L \delta_a} \cdot \delta_a + C_{L \bar p} \left( \frac{pb}{2V_T }\right) + C_{L \bar r} \left( \frac{rb}{2V_T }\right) \\ E_M &= C_{M_0} + C_{M \alpha} \cdot \alpha + C_{M \delta_e} \cdot \delta_e + C_{M \dot \alpha} \left( \frac{\dot \alpha \bar c}{2V_T}\right) + C_{M \bar q} \left( \frac{q \bar c}{2V_T}\right) \\ E_N &= C_{N \beta} \cdot \beta + C_{N \delta_a} \cdot \delta_a + C_{N \delta_r} \cdot \delta_r + C_{N \bar p} \left( \frac{pb}{2V_T}\right) + C_{N \bar r} \left( \frac{rb}{2V_T}\right) \end{aligned} \tag{4}$ 其中 $\delta_r, \delta_a, \delta_e$ 分别为尾翼方向舵、左右副翼、尾翼升降舵的控制量。

将(1)(2)(3)(4)联立，(1)式可以化为
$\dot \Omega^b = \left( J^b \right) ^ {-1} \left( M^b - \Omega^b \times \left( J^b \cdot \Omega^b \right) \right) \Longrightarrow \\ \left[ \begin{matrix} \dot p \\ \dot q \\ \dot r \end{matrix} \right] = \Lambda \left[ \begin{matrix} \bar q Sb E_L - J_{zx}pq - J_z qr + J_y qr \\ \bar q S \bar c E_M - J_x pr - J_{xz} r^2 + J_{zx} p^2 + J_z pr \\ \bar q Sb E_N - J_y pq + J_x pq + J_{xz}qr \end{matrix} \right] \tag{5}$ 其中 $\Lambda = \left( J^b \right) ^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{J_z}{J_x J_z - J_{xz} J_{zx}} & 0 & \frac{J_{xz}}{J_{xz} J_{zx} - J_x J_z} \\ 0 & \frac{1}{J_y} & 0 \\ \frac{J_{zx}}{J_{xz} J_{zx} - J_x J_z} & 0 & \frac{J_x}{J_x J_z - J_{xz} J_{zx}} \end{matrix} \right]$ 另一方面，由于 $E_L, E_M, E_N$ 表达式显含控制量 $\delta_i$ ，因而(5)式还可以简化为
$\begin{cases} \dot p = f_1 \left( \delta_r, \delta_a, p, q, r \right) \\ \dot q = f_2 \left( \delta_e, p, q, r \right) \\ \dot r = f_3 \left( \delta_r, \delta_a, p, q, r \right) \end{cases} \tag{6}$