众所周知，线性代数是一门严谨却又不那么严谨的学科，我们常常从原始定义中得到高度抽象的结果，偶尔还能得到一些玄学结论。本人在学习线代课程时，无意中生发了这样一种想法：分块矩阵也可以进行初等变换吗？
我在计算分块行列式如
时，无意中使用了类似初等变换求最简形的手法（Gauss消元法），将第一行乘以一个矩阵加到第二行上，消去C得到
后，通过上三角矩阵的行列式结论，竟然能够求得正确结果。我又试着对上三角矩阵求逆，结果竟然仍是符合。我猜想，分块矩阵也可以进行初等变换。
通常来说，初等变换是指对矩阵元素的三种变换，与初等矩阵一一对应。现在，我将其扩展到四分块矩阵上。根据分块矩阵的乘法，1）对换两行/两列：主对角线的两个E换到次对角线上；2）某行乘以k：行中的分块矩阵各左乘（注意，只能是左乘）矩阵K；3）某行乘以k加到另一行上：同2）。
定义中涉及的“重定义初等变换”分别对应三种“重定义初等矩阵”，
如图所示。它们的逆矩阵如下：
其中，对于第二、三种“重定义初等变换”，当K可逆，它们的“重定义初等矩阵”便对应可逆。考虑到另一条性质：可逆矩阵一定可以分解为初等矩阵之积，“重定义初等矩阵”实际上代表了一系列初等矩阵之积，故而对四分块矩阵的初等变换也是成立的。
至于其它类型的分块矩阵，留待读者自行证明、考虑应用。
证明完四分块矩阵的初等变换的合理性之后，我给出一些实际运用。
1）求四分块矩阵的行列式（并快速记忆结论）
注1：此处的类比可以实际证明之，即detBA=inv(det inv(B))*det A。
注2：当且仅当A可逆时，四分块矩阵可以这样分解；当B/C/D可逆时，可以同样分解（只要在变换中消去不同元素即可）。
2）求上下三角矩阵的逆（并快速记忆结论）
在此给出上三角矩阵逆的求法。
注：对于次对角线上下三角矩阵，也可以这样处理。
3）处理主次对角线分块矩阵的逆（容易处理）
4）求四分块矩阵的逆文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-500855.html
由于笔者只在纸上进行了演算，涉及到的公式计算较多，本人不会用LeTex录入，故不呈现。读者可以自行尝试通过初等变换和高斯消元法处理四分块矩阵，得到公式。相对于百度百科和知乎给出的解答而言，初等变换的方式显然更快。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-500855.html
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