牛顿（Newton）迭代法求解非线性方程以及方程组的Matlab实现-Toy模板网

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牛顿（Newton）迭代法求解非线性方程以及方程组的Matlab实现

必做题目比较简单，写得有些随意，主要还是第二个拓展题目的难度比较高

1.Newton迭代法解非线性方程

function [] = Newton_Die(x,tol,N)
f=cos(x)-x; %f(x)
df=-sin(x)-1; %f(x)的导数
for k=1:N
    x_old=x;
    x=x_old-f/df;
    f=cos(x)-x;   %更新f的值
    df=-sin(x)-1; %更新df的值
    fprintf('迭代次数=%d\tx=%.10f\n',k,x)
    if abs(x_old-x)<tol
        break
    end
    if k==N
        disp('达到最大迭代次数')
    end
end
end

2.Newton迭代法解非线性方程组

function [X] = Newton_Z(X,tol,N)
n = input('输入未知数的个数：');
syms x [1 n]  %创建n个未知数变量
ff=cell(n,1); %初始化f（xk）——带入Xk值之前为符号表达式——cell储存
F=zeros(n,1); %初始化f（xk）——带入Xk值之后为矩阵——数组储存
Jx=cell(n,n); %初始化J（xk）——带入Xk值之前为符号表达式——cell储存
J=zeros(n,n); %初始化J（xk）——带入Xk值之后为矩阵——数组储存
for i=1:n
    f=input('请输入方程：');
    ff{i,1}=f;
    for j=1:n
        Jx{i,j}=diff(f,x(j)); %求Jacobi矩阵
    end
end
Jx
for k=1:N %定义最大迭代次数
    X_old = X;
    for i=1:n
        ff_cpoy=ff{i,1};
        for u=1:n %求f（xk）的值
            if u~=n
                ff_cpoy=subs(ff_cpoy,x(u),X(u,1)); %对符号表达式逐个赋值
            else
                F(i,1)=vpa(subs(ff_cpoy,x(u),X(u,1)));%赋值完成后传给F
            end
        end
        for j=1:n
            Jx_copy=Jx{i,j};
            for v=1:n %求J（xk）的值
                if v~=n
                    Jx_copy=subs(Jx_copy,x(v),X(v,1));%对符号表达式逐个赋值
                else
                    J(i,j)=vpa(subs(Jx_copy,x(v),X(v,1)));%赋值完成后传给J
                end
            end
        end
    end
    X = X-J\F; %Newton迭代公式
    fprintf('迭代次数=%d  ',k)
    for i=1:n
        value=X(i,1);
        fprintf('x%d=%.8f ',i,value)
    end
    fprintf('\t')
    fprintf('精度：%.10f\n',norm(X_old-X, inf))
    if norm(X_old-X, inf)<tol %无穷范数定义终止条件
        break
    end
    if k==N
        disp('达到最大迭代次数')
    end
end

传入题设数据有：

>> Newton_Die(0.5,1e-5,100)
迭代次数=1	x=0.7552224171
迭代次数=2	x=0.7391416661
迭代次数=3	x=0.7390851339
迭代次数=4	x=0.7390851332

Newton_Z([1;1;1],1e-5,100)
输入未知数的个数：3
请输入方程：3*x1-cos(x2*x3)-0.5
请输入方程：x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06
请输入方程：exp(-1*x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3

Jx =

  3×3 cell 数组

    {[3              ]}    {[x3*sin(x2*x3)  ]}    {[x2*sin(x2*x3)]}
    {[2*x1           ]}    {[- 162*x2 - 81/5]}    {[cos(x3)      ]}
    {[-x2*exp(-x1*x2)]}    {[-x1*exp(-x1*x2)]}    {[20           ]}

迭代次数=1  x1=0.91968721 x2=0.46082246 x3=-0.50338764 	精度：1.5033876355
迭代次数=2  x1=0.50100049 x2=0.18743348 x3=-0.52086923 	精度：0.4186867278
迭代次数=3  x1=0.50054294 x2=0.06115345 x3=-0.52200096 	精度：0.1262800240
迭代次数=4  x1=0.50010444 x2=0.01161711 x3=-0.52329515 	精度：0.0495363479
迭代次数=5  x1=0.50000551 x2=0.00060562 x3=-0.52358294 	精度：0.0110114900
迭代次数=6  x1=0.50000002 x2=0.00000183 x3=-0.52359873 	精度：0.0006037894
迭代次数=7  x1=0.50000000 x2=0.00000000 x3=-0.52359878 	精度：0.0000018264

另附运行截图

牛顿（Newton）迭代法求解非线性方程以及方程组的Matlab实现