day24 | 回溯算法基础、77. 组合-Toy模板网

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解题及思路学习

回溯法理论基础

https://programmercarl.com/回溯算法理论基础.html#题目分类大纲如下

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

**如何理解回溯法：回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。**因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

• 回溯函数模板返回值以及参数：

回溯算法中函数返回值一般为void。函数起名字为backtracking。因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-76frxxXt-1687574695227)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/0f08124e-6e33-4b67-8c24-b332b08bd643/Untitled.png)]

从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

模板框架：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按任何顺序返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],]

思考：可以用vector来存储最终的结果。终止条件是当vector的size等于k的时候，就返回。

随想录：

把组合问题抽象为如下树形结构：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CofHOfiE-1687574695232)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/97cec914-ead1-4ccb-b1f2-ef7c6d6a5987/Untitled.png)]

一开始的集合是1，2，3，4。从左往右取，取过的数，不再重复取。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

代码：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

剪枝优化

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-F1KFKR7h-1687574695233)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/d53151cf-d1d3-4e19-b1cd-3f8d5da43b49/Untitled.png)]

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

优化后整体代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

这个剪枝优化操作在我看来更像是删掉了构不成条件的循环部分。比如要找的k长度为3，n的长度为4。那么startindex最大也就是2。因为从2之后，比如3开始，后面的数据长度都是小于等于3的，所以直接剪掉这部分。

知识点记录

知识点

1、回溯算法的基本框架：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}