概率论与数理统计常用公式大全-Toy模板网

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事件的关系与运算

$\begin{aligned} & A -B=A-AB=A\overline{B}\\ &B=\overline{A} \iff AB=\varnothing ~~且 A \cup B=\Omega \\ (1) 吸收律~~ & 若 A \subset B, 则 A \cup B=B, A B=A \\ (2) 交换律~~ &A \cup B=B \cup A, A B=B A \\ (3) 结合律~~ & (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A B) C=A(B C) \\ (4) 分配律~~ & A(B \cup C)=A B \cup A C, A \cup B C=(A \cup B)(A \cup C), A(B-C)=A B-A C \\ (5) 对偶律~~ & \overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B} \\ \end{aligned}$

概率的基本性质

$\begin{aligned} & P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) ~~~~~（A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}两两互不相容）\\\\ & P(B-A)=P(B)-P(A) ~~~~~~(A\subset B) \\\\ & P(\overline A)=1-P(A) \\\\ & P(A\cup B) =P(A) +P(B) -P(AB) \\\\ & P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)-P\left(A_{1} A_{2}\right)-P\left(A_{1} A_{3}\right)-P\left(A_{2} A_{3}\right)+P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right) \\\\ & P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)-\sum_{1 \leqslant i <j \leqslant n} P\left(A, A_{j}\right)+\sum_{1 \leqslant i<j<k \atop n} P\left(A_i A_{j} A_{k}\right)-\cdots+(-1)^{n-1} P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right) \\\\ & P(A-B) = P(A) - P(AB) \end{aligned}$

条件概率相关公式

$\begin{aligned} & P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} ~~~~~~（条件概率） \\\\ & P(AB) =P(A)P(B\mid A) ~~~~~~~（乘法公式） \\\\ & P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} \cdots A_{n-1}\right) \end{aligned}$

全概率公式：

如果 $\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\Omega, A_{i} A_{j}=\varnothing(i \neq j), P\left(A_{i}\right)>0$ , 则对任一事件 $B$ , 有
$\begin{gathered} B=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} B \\ P(B)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right) \end{gathered}$

贝叶斯公式（逆概公式）：

如果 $\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\Omega, A_{i} A_{j}=\varnothing(i \neq j), P\left(A_{i}\right)>0$ , 则对任一事件 $B$ , 只要 $P (B) > 0$ , 就有
$P\left(A_{j} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{j}\right) P\left(B \mid A_{j}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right)} \quad(j=1,2, \cdots, n)$

常用分布

离散型分布

0-1分布 $B (1, p)$

符号表示： $\sim B(1, p)$
概率分布： $\sim\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ p & 1-p \end{array}\right)$
分布解释：结果只要 $0, 1$ 两种，为 $1$ 的概率为 $p$ ，为 $0$ 的概率为 $1 - p$
参数解释： $1$ 为固定常量，即一次伯努利试验； $p$ 为伯努利试验结果为 $1$ 的概率
期望： $p$
方差： $p (1 - p)$

二项分布 $B (n, p)$

符号表示： $\sim B(n,p)$
概率分布： $p_{k}=P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}~~,~~~~ k=0,1, \cdots, n, 0<p<1$
分布解释： $X$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数。
参数解释： $n$ 为进行 $n$ 次伯努利试验； $p$ 为一次伯努利试验结果为 $1$ 的概率
期望： $n p$
方差： $n p (1 - p)$

泊松分布 $P(\lambda)$

符号表示： $\sim P(\lambda)$
概率分布： $p_{k}=P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}~~~~(k=0,1, \cdots ; \lambda>0)$
分布解释：在某个时间段内，某事件发生 $k$ 次的概率。例如：在某个时间段内，卖出 $k$ 个包子的概率；知乎大佬形象解释
参数解释： $\lambda$ 为均值（也叫强度），即在某时间段内，某时间发生的平均次数
期望： $\lambda$
方差： $\lambda$
函数图像：https://www.geogebra.org/m/s3xuVuZN

几何分布 $G (p)$

符号表示： $X\sim G(p)$ 或 $X\sim \text{Ge}(p)$
概率分布： $p_{k}=P\{X=k\}=q^{k-1} p = (1-p)^{k-1}\cdot p~~~~~~~ (k=1,2, \cdots ; 0<p<1, q=1-p)$
分布解释：第 $k$ 次做某事才成功的概率。如第5次抛硬币，才抛出正面的概率，即前4次都是反面，第5次是正面
参数解释： $p$ 表示成功的概率
期望： $\frac{1}{p}$
方差： $\frac{1-p}{p^2}$

超几何分布 $H (N, M, n)$

符号表示： $\sim H(N,M,n)$
概率分布： $p_{k}=P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{k} \mathrm{C}_{\mathrm{N}-\mathrm{M}}^{n-k}}{\mathrm{C}_{\mathrm{N}}^{n}}~~~~~~~~(k=0,1, \cdots, \min \{M, n\}, M, N, n \text { 为正整数 })$
分布解释：从有限 $N$ 个物件（其中包含 $M$ 个指定种类的物件）中抽出 $n$ 个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。例如：在产品中随机抽 $n$ 件做检查，发现 $k$ 件不合格品的概率
参数解释： $N$ 为样本总数， $M$ 为指定样本总数， $n$ 为抽样的个数
期望： $\frac{M}{N}$
方差： $\frac{n M(N-M)(N-n)}{N^{2}(N-1)}$

连续型分布

均匀分布 $U (a, b)$

符号表示： $X\sim U(a,b)$
概率密度： $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.$
分布函数： $F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b \\ 1, & b \leqslant x \end{array}\right.$
分布解释：样本在 $(a, b)$ 这个区间上是均匀分布的
参数解释： $a$ 为左边界， $b$ 为右边界
期望： $\frac{a+b}{2}$
方差： $\frac{(b-a)^2}{12}$

指数分布 $E(\lambda)$

符号表示： $\sim E(\lambda)$
概率密度： $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right.$
分布函数： $F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0 \end{array}(\lambda>0)\right.$
分布解释：描述事件与事件之间的间隔时间的概率分布。如：1分钟内没有顾客通过收银台的概率为： $P\{t>1\} =\int_1^{+\infty }f(t) dt$
参数解释：单位时间内的平均值。如：平均每分钟有两名顾客通过收银台，则 $\lambda =2$
期望： $\frac{1}{\lambda}$
方差： $\frac{1}{\lambda^2}$
函数图像：https://www.geogebra.org/m/XEzN7emD

正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$

符号表示： $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
概率密度： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-u}{\sigma}\right)^{2}} ~~~\quad(-\infty<x<\infty)$
分布函数： $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} d x, \quad-\infty<x<+\infty$
分布解释：
参数解释： $\mu$ 为样本均值， $\sigma^2$ 为样本方差
期望： $\mu$
方差： $\sigma^2$

正态分布性质：

$f (x)$ 的图像关于直线 $x=\mu$ 对称，即 $f(\mu-x)=f(\mu+x)$
$f (x)$ 在 $x=\mu$ 处有唯一最大值： $f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$
$\mu =0, ~\sigma^2=1$ 时的正态分布 $N (0, 1)$ 为标准正态分布，概率密度为： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$
标准正态分布的分布函数： $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t$
$\Phi (x)$ 的性质： $\Phi (0) = 0.5$ ， $\Phi (+\infty) = 1$ ， $\Phi (-x) = 1-\Phi(x)$
在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点
固定 $\sigma$ ，改变 $\mu$ ，则图像沿 $x$ 轴平移而不改变其形状
固定 $\mu$ ，改变 $\sigma$ ，则当 $\sigma$ 很小时，曲线的形状与尖塔类似；当 $\sigma$ 值增大时，曲线将趋于平坦

函数图像：https://www.geogebra.org/m/sPBsZYET

概率密度函数图像：
分布函数图像如下：

一维随机变量函数的分布

离散型： $\sim\left(\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & \cdots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots \end{array}\right) ,~~~~Y= g(X) ,~~~~ 则~Y\sim\left(\begin{array}{ccc} g\left(x_{1}\right) & g\left(x_{2}\right) & \cdots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots \end{array}\right)$
连续型： $F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{g(X) \leqslant y\}=\int_{g(x) \leqslant y} f(x) \mathrm{d} x$

多为随机变量及其分布

$\begin{aligned} & F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, X_{2} \leqslant x_{2}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right\} ~~~~~ \left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \in R^{n} \\\\ & 当 x_{1}<x_{2},~~~F\left(x_{1}, y\right) \leqslant F\left(x_{2}, y\right)\\\\ & 当 y_{1}<y_{2},~~~F\left(x, y_{1}\right) \leqslant F\left(x, y_{2}\right) & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} \quad(x, y) \in \mathbf{R}^{2}\\\\ & F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0 \\\\ & F(+\infty,+\infty)=1\\\\ & P\left\{x_{1}<x \leqslant x_{2}, y_{1}<y \leqslant y_{2}\right\}=F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right) \geqslant 0 \\\\ &\begin{aligned} F_{X}(x) &=P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x, Y \leqslant+\infty\} \\ &=\lim _{y \rightarrow+\infty} P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} \\ &=\lim _{y \rightarrow+\infty} F(x, y)=F(x,+\infty) \end{aligned} \\\\ \end{aligned}$

离散型：

$\begin{aligned} & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}=\sum_{x_{i} \leqslant x, y_{j} \leqslant y} p_{i j} \\\\ & P\{(X, Y) \in G\}=\sum_{\left(x_{i}, y_{j}\right) \in G} p_{i j} \\\\ &p_{i \cdot}=P\left\{X=x_{i}\right\}=\sum_{j} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=\sum_{j} p_{i j}~~~~(i=1,2, \cdots) \\\\ &p_{\cdot j}=P\left\{Y=y_{j}\right\}=\sum_{i} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=\sum_i p_{i j}~~~~(j=1,2, \cdots) \\\\ & \begin{aligned} p_{X \mid Y}\left(x_{i} \mid y_{j}\right) &=P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{Y=y_{j}\right\}} \\ &=\frac{p_{i j}}{p \cdot j}~~~~(i=1,2, \cdots) \end{aligned} \end{aligned}$

连续型：

$\begin{aligned} & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y\leqslant y \}=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v ~~~~~~~\quad(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \\\\ & P\{(X, Y) \in G\}=\iint_{G} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\\\ & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 \\\\ & \frac{\partial^{2} F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) \\\\ & F_{X}(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{x}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \mathrm{d} v\right] \mathrm{d} u \\\\ & f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \\\\ & f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \\\\ & f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)} \\\\ & f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \\\\ & f(x, y)=f_{X}(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)=f_{Y}(y) f_{X \mid Y}(x \mid y) \\\\ & F_{Y \mid X}(y \mid x)=\int_{-\infty}^{y} f_{Y \mid X}(v \mid x) \mathrm{d} v=\int_{-\infty}^{y} \frac{f(x, v)}{f_{X}(x)} \mathrm{d} v \\\\ & F_{X \mid Y}(x \mid y)=\int_{-\infty}^{x} f_{X \mid Y}(u \mid y) \mathrm{d} u=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(u, y)}{f_{Y}(y)} \mathrm{d} u \end{aligned}$

常见的微微离散型、连续型分布

二维均匀分布

$y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{S_{D}}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他 }, \end{array}\right.$

其中 $S_D$ 为区域 $D$ 的面积

二维正态分布

$y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}-2 \rho\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)+\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]\right\}$

其中 $\mu_{1} \in \mathbf{R}, \mu_{2} \in \mathbf{R}, \sigma_{1}>0, \sigma_{2}>0,-1<\rho<1$ , 则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho$ 的二维正态分布, 记为 $\sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right) .$ 此时有:
(1) $\sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right), \rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数, 即
$\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D X} \sqrt{D Y}}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}$
(2) $X, Y$ 的条件分布都是正态分布.
(3) $\neq 0$ 或 $\neq 0$ )服从正态分布.
(4) $X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 不相关, 即 $\rho=0$

随机变量的相互独立性

$\begin{aligned} & F(x, y)=F_{X}(x) \cdot F_{Y}(y) \iff X与Y相互独立 \\\\ & F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=F_{1}\left(x_{1}\right) \cdots F_{n}\left(x_{n}\right) \iff X_1,X_2,\cdots,X_n 相互独立 \\\\ & P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n} ; Y_{1} \leqslant y_{1}, \cdots, Y_{m} \leqslant y_{m}\right\}=P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right\} \cdot P\left\{Y_{1} \leqslant y_{1}, \cdots, Y_{m} \leqslant y_{m}\right\} \\ & 即 ~F\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, y_{1}, \cdots, y_{m}\right)=F_{1}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \cdot F_{2}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right) \\ & \iff (X_1,X_2,\cdots, X_n) 与(Y_1,Y_2,\cdots, Y_m) 相互独立 \\\\ & P\left\{X_{1}=x_{1}, \cdots, X_{n}=x_{n}\right\}=\prod^{n} P\left\{X_{i}=x_{i}\right\} ~~~~~（离散型，且相互独立） \\\\ & f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right) \cdot f_{2}\left(x_{2}\right), \cdots, f_{n}\left(x_{n}\right) ~~~（连续型，且相互独立）\\\\ & X,Y独立 \implies \begin{array}{ll} P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=P\left\{X=x_{i}\right\} & \left(P\left\{Y=y_{j}\right\}>0\right) \\ P\left\{Y=y_{j} \mid X=x_{i}\right\}=P\left\{Y=y_{j}\right\} & \left(P\left\{X=x_{i}\right\}>0\right) \end{array} ~~~（离散型）\\\\ & X,Y独立 \implies \begin{aligned} &f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}=f_{X}(x) \quad\left(f_{Y}(y)>0\right) \\ &f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}=f_{Y}(y) \quad\left(f_{X}(x)>0\right) \end{aligned} \\\\ & X_1,X_2,\cdots ,X_n 相互独立 \implies g_1(X_1),g_2(X_2),\cdots,g_n(X_n) 相互独立 ~~~（g(x)为一元连续函数） \end{aligned}$

多维随机变量函数的分布

$\begin{aligned} & P\left\{U=g\left(x_{i}, y_{i}\right)\right\}=P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=p_{i j} \\\\ & F_{U}(u)=P\{U \leqslant u\}=P\{g(X, Y) \leqslant u\}=\sum_{g\left(x_{i}, y_{j}\right) \leqslant u} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\} \end{aligned}$