s域分析
1 微分方程的变换解
问题：如何用拉普拉斯变换求如下n阶系统的微分方程？
系统的初始状态为 y ( 0 − ) , y ( 1 ) ( 0 − ) , … , y ( n − 1 ) ( 0 − ) y(0-), y^{(1)}(0-), \ldots, y^{(\mathrm{n}-1)}(0-) y(0−),y(1)(0−),…,y(n−1)(0−)
方法是利用拉普拉斯变换微分特性：
微分方程两边进行拉氏变换：
s
2
Y
(
s
)
−
s
y
(
0
−
)
−
y
′
(
0
−
)
+
5
(
Y
(
s
)
−
y
(
0
−
)
)
+
6
Y
(
s
)
=
2
s
F
(
s
)
+
6
F
(
s
)
s^2Y(s)-sy(0_-)-y'(0_-)+5(Y(s)-y(0_-))+6Y(s)=2sF(s)+6F(s)
s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+5(Y(s)−y(0−))+6Y(s)=2sF(s)+6F(s)
2 连续系统函数 H ( s ) H(s) H(s)的定义和求解
系统函数
H
(
s
)
H(s)
H(s)定义：
说明：系统函数只与系统的结构、元件参数有关，与激励、初始状态无关。
连续系统不同描述方法的关系：
3 H ( S ) H(S) H(S)的零极点分布与时域特性
3.1 系统函数的零点与极点
零点用⭕表示；极点用❌表示。
极点： s = − 1 ± j 2 s=-1\pm j2 s=−1±j2
3.2 系统函数 H ( s ) H(s) H(s)与时域响应 h ( t ) h(t) h(t)
讨论冲激响应的函数形式与H(s)的极点关系？
对于连续因果系统， H ( s ) H(s) H(s)按其极点在 s s s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类
（1）极点在左半开平面
响应函数衰减。
响应函数震荡衰减。
以上三种情况：当 t → ∞ t→∞ t→∞时，响应均趋于0，属暂态分量
（2）极点在虚轴上
（3）在右半开平面
均为递增函数
4 连续系统稳定性判别
1.连续系统稳定的充分必要条件是绝对可积：
若 H ( s ) H(s) H(s)的收敛域包含 j w jw jw虚轴，则该系统必是稳定系统。
2.连续因果系统稳定的充分必要条件是
系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数，故，
若
H
(
s
)
H(s)
H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的
因果系统
3. 稳定系统的 S 域判别方法
5 系统函数与系统的频率特性
1.
H
(
s
)
H(s)
H(s) 与
H
(
j
ω
)
H(jω)
H(jω) 关系
2. H ( s ) H(s) H(s) 零、极点与连续系统频率特性
系统幅频特性与零点无关，与极点有关。
H ( w ) H(w) H(w)：零点模值相乘除极点模值相乘。
6 连续系统的s域框图
积分器比微分器稳定，所以现实中常用积分器代替微分器。
（1）选择求和器的输出 X ( s ) X(s) X(s)作为中间变量
（2）对求和器输入输出 X ( s ) X(s) X(s)列方程
（3）写出 Y ( s ) Y(s) Y(s)和 X ( s ) X(s) X(s)关系式
（4）整理得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)表达式
（5）写出微分方程
7 连续系统的信号流图
信号流图是系统方框图简化的表示方法。
1.定义 ：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2.信号流图中常用术语
说明：纯粹地记忆这些概念没什么意义，可以通过例题来理解。
(1)结点： 信号流图中的每个结点
(2)支路和支路增益：
连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。
即用一条有向线段表示一个子系统
(3)源点与汇点，混合结点：
仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。
仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。
有入有出的结点为混合结点 。
(4)通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路
通路－沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径。
开通路－如果通路与任一结点相遇不多于一次。
闭通路－若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次。)
不接触回路－相互没有公共结点的回路。
自回路－只有一个结点和一条支路的回路。
(5)前向通路，前向通路增益，回路增益：
前向通路－从源点到汇点的开通路。
前向通路增益－前向通路中各支路增益的乘积。
回路增益－回路中各支路增益的乘积。
3.信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。
支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。
（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的
输出支路。
4.方框图 ↔ \leftrightarrow ↔流图
注意：加法器前引入增益为1的支路
5.流图的基本规则
8 梅森（Mason）公式
系统函数
H
(
s
)
H(s)
H(s)记为
H
H
H。梅森公式为：
H
=
1
Δ
∑
i
p
i
Δ
i
H=\frac{1}{\Delta} \sum_{i} p_{i} \Delta_{i}
H=Δ1i∑piΔi
剩余特征多项式：用与特定前向通路不相交的回路计算。
9 连续系统的模拟
由系统函数画流图
9.1 直接形式
分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。
由梅森公式：流图包含两条开路，一个环。
（1）画出
s
−
1
s^{-1}
s−1
（2）确定输入输出
（3）根据分母h画环：
−
a
0
s
\frac{-a_0}{s}
s−a0
（4）根据分子画通路
两种形式区别：环和通路公共点不同
（1）画出
s
−
1
s^{-1}
s−1
（2）确定输入输出
（3）根据分母构造环：
−
a
1
s
\frac{-a_1}{s}
s−a1，
−
a
0
s
2
\frac{-a_0}{s^2}
s2−a0
（4）根据分子画通路
9.2 级联形式
9.3 并联形式
10 零极点配置的作用
10.1 极点增强效益
10.2 零点抑制效益
适当配置零极点对，可以互相抵消在频率响应上的影响，因此，可以利用这些不同的频率选择特性，来观察结果，设计低通、高通、带通和带阻（陷波）滤波器。
11 低通、带通、带阻滤波器中零极点的配置
11.1 低通滤波器
11.2 带通滤波器
11.3 带阻滤波器
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-502911.html
中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-502911.html
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