【线性代数】如何判断矩阵是否可以相似对角化

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步骤

第一步,看是不是实对称矩阵,如果是实对称矩阵,立即推可相似对角化,如果不是实对称矩阵,看第二步;
第二步,求方阵的n个特征值,如果特征值彼此都不相同,也就是都是单根的话,立即推可相似对角化,如果有重根,看第三步;
第三步,来验证k重根是不是具备k个线性无关的特征向量,也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k,若相等,立即推可相似对角化,不相等,则不能进行相似对角化

原理:

(1)实对称矩阵->不同特征值对应的特征向量之间两两正交->可以相似对角化(证明太难了,记住就行)
(2)特征值不同->特征向量线性无关->可以相似对角化
(3)当 λ 是矩阵 A 的特征值时, λ 的几何重数是 n-r(λ E-A),所以,通过验证每一个特征值是不是“代数重数=几何重数”,就可判断特征向量是不是线性无关->可以相似对角化文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-504804.html

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