马氏距离的求解-Toy模板网

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马氏距离的求解

马氏距离是一种可以消除单位影响的距离评价方法，可以忽略量纲对距离两点之间距离的影响。

在此将列举简单一个例子对文字性描述进行一个运算。

x	y
5	10
4	6
3	11

1、计算x与y的均值

设 $x=(x_1,x_2,...,x_n)、y=(y_1,y_2,...,y_n)$ ，求解 $\bar x=\frac{x_1+x_2+,...,x_n}{n}、\bar y=\frac{y_1+y_2,...,y+n}{n}$ 。计算出 $x, y$ 的均值。

$x=(5,4,3)、y=(10,6,11)\quad n=3$

$\bar x=4,\bar y=9$

2、计算样本与均值的差

样本减去均值可以得到一个去中心化的矩阵 $X$
$X=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -3\\ -1 &2 \end{pmatrix}$

3、计算 X X X协方差矩阵

$cov(X)=S=\frac{1}{m-1}s^Ts$ 这里参照基本协方差矩阵的求解方法。

3.1、协方差矩阵的求法：

根据前期假设得知 $X$ 是一个 $n * 2$ 的矩阵，取每一列为单独的变量，因此得到 $c_1$ 为去中心化后的x， $c_2$ 为去中心化后的y。

$c_1=(1,0,-1)\quad c_2=(1,-3,2)$

对每一列的变量求和取均值得 $\bar c_1、\bar c_2$ ，再将每一列减去对应的均值得到 $s$ 矩阵，因为这里是按照每列为一个单独的变量，所以m为矩阵的行数m=n。

$\bar c_1=0 \quad \bar c_2=0 \quad m=3\\ s=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -3\\ -1 &2 \end{pmatrix}$

在本例子中s与原来的 $X$ 没有发生改变。

根据公式计算协方差矩阵S

$S=\frac{1}{3-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -3\\ -1 &2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -0.5\\ -0.5 & 7\\ \end{pmatrix}$

4、求解马氏距离

求解具体两个点之间的马氏距离，直接带入以下两个点即可。

基本计算公式如下：
$y)=\sqrt{(x-y)^{T} S^{-1}(x-y)}$
$S^{-1}$ 表示协方差矩阵的逆矩阵。逆矩阵的基本求解在此不再过多描述。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-507332.html

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