常见的方波信号傅里叶级数展开都是占空比为50%，如方波信号傅里叶级数展开，但有的时候信号的占空比不一定是50%的信号，这时我们要对其进行傅里叶变换或者频谱推导的时候，就不太适用了。因此本文将对占空比任意的方波信号的傅里叶级数展开进行推导。搭配转|周期矩形脉冲信号频谱及特点食用更佳。
傅里叶级数的复数形式
本文推导将使用傅里叶级数变换的复数形式，具体推导可观看B站Dr.CAN的视频纯干货数学推导_傅里叶级数与傅里叶变换_Part4_傅里叶级数的复数形式
这里直接引用结论：周期为T的周期函数f(t)可以展开为
C
n
C_n
Cn为系数的一系列级数。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-508438.html
占空比任意方波的傅里叶级数展开
下面我们定义一个周期为T、占空比为D、高电平幅度为A的任意方波信号，其时域波形如下：
单个周期T内x(t)表达式可写为：
x
(
t
)
=
{
A
0
≤
t
<
D
T
0
D
T
≤
0
<
T
\begin{equation} x(t)= \begin{cases} A& {0 \leq t < DT}\\ 0& {DT \leq 0 < T} \end{cases} \end{equation}
x(t)={A00≤t<DTDT≤0<T
下面来计算傅里叶级数的系数：
C
0
=
1
T
∫
0
D
T
x
(
t
)
d
t
=
A
D
C
k
=
1
T
∫
0
T
x
(
t
)
e
−
j
k
ω
0
t
d
t
=
1
T
∫
0
D
T
A
e
−
j
k
ω
0
t
d
t
=
A
T
∗
(
−
j
k
ω
0
)
(
e
−
j
k
ω
0
D
T
−
1
)
C_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{DT}x(t)dt=AD\\ C_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{DT}Ae^{-jk\omega_0t}dt\\ =\frac{A}{T*(-jk\omega_0)} (e^{-jk\omega_0DT}-1)
C0=T1∫0DTx(t)dt=ADCk=T1∫0Tx(t)e−jkω0tdt=T1∫0DTAe−jkω0tdt=T∗(−jkω0)A(e−jkω0DT−1)
用
ω
0
=
2
π
f
0
\omega_0=2\pi f_0
ω0=2πf0代入：
C
k
=
A
−
j
k
2
π
(
e
−
j
k
2
π
D
−
1
)
=
A
j
k
2
π
(
e
j
k
π
D
−
e
−
j
k
π
D
)
e
−
j
k
π
D
=
A
k
π
s
i
n
(
k
π
D
)
e
−
j
k
π
D
C_k=\frac{A}{-jk2\pi} (e^{-jk2\pi D}-1)=\frac{A}{jk2\pi} (e^{jk\pi D-e^{-jk\pi D}})e^{-jk\pi D}\\ =\frac{A}{k\pi}sin(k\pi D)e^{-jk\pi D}
Ck=−jk2πA(e−jk2πD−1)=jk2πA(ejkπD−e−jkπD)e−jkπD=kπAsin(kπD)e−jkπD
因此x(t)的展开式可写为：
x
(
t
)
=
∑
−
∞
+
∞
A
k
π
s
i
n
(
k
π
D
)
e
j
k
(
ω
0
t
−
π
D
)
x(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{A}{k\pi}sin(k\pi D)e^{jk(\omega_0t-\pi D)}
x(t)=−∞∑+∞kπAsin(kπD)ejk(ω0t−πD)
e
−
j
k
π
D
e^{-jk\pi D}
e−jkπD作为相移因子，如果方波是以t=0奇对称，则没有相移存在。Cn还可以整理为一个sinc函数的形式。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-508438.html
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