引言
最近上数值分析学到了改进平方根法的原理，并最终借助matlab实现了运用该方法进行解题，浅浅的记录一下。
本文所依据的公式
由于本人并非数学专业，不擅长公式的推导，在此仅将书中内容拍照整理，供大家参考，主要用的是图中圈的两个公式：
式中的D是正定矩阵，求解过程参考第一张图片的（3.18）；L为单位下三角阵
注意使用本方法要求系数矩阵A为对称正定矩阵
MTALAB代码实现
实现参考别人的文章，实现LU分解，求出下三角阵L
传送门：矩阵的LU分解——MATLAB实现
LU分解的代码摘抄如下：
function [L,U] = lu_decompose(A)
% lu decompose
% L:下三角矩阵
% U:上三角矩阵
% A:输入矩阵
[m,n]=size(A);
L=eye(m);
L(:,1)=A(:,1)/A(1,1);%L第一列赋值
U=zeros(m,n);
U(1,:)=A(1,:);%U第一行赋值
for i=2:m
for j=2:n
if i<=j
U(i,j)=A(i,j)-sum(L(i,1:i-1).*U(1:i-1,j)');%递推表达式(1-6)
else
if U(j,j)==0
L(i,j)=0;
else
L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*U(1:j-1,j)'))/U(j,j);%递推表达式(1-7)
end
end
end
end
end
基于上边代码，改进平方根法MATLAB代码实现如下：
% 用改进的平方根法求解线性方程组Ax = b，其中A应为对称正定阵
% 参考文章：https://blog.csdn.net/AmazingM/article/details/118763704
% (本文中使用的lu_decompose函数便是上述文章中的）
function x = gai_jin_ping_fang_gen_fa_Solve_systems_of_linear_equations(A,b)
% x为求解结果；A为系数矩阵；b为等号右边那些数组成的列向量
format rat % 实现最终结果以分数形式输出；若希望通过小数输出，将此代码注释即可
[L,~] = lu_decompose(A); % 调用LU分解函数
D = (L\A)/L'; % D为正定矩阵，L为单位下三角阵，A为外部传入的系数矩阵
x = (L'\inv(D))*(L\b); % x便是最终求解结果，并作为返回值输出
例题验证
使用MATLAB命令行调用函数进行求解
A = [1,2,1,-3;2,5,0,-5;1,0,14,1;-3,-5,1,15]
b = [1,2,16,8]'
x = gai_jin_ping_fang_gen_fa_Solve_systems_of_linear_equations(A,b)
输出结果如下：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-508971.html
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