线性代数高级--二次型--特征值与特征向量--特征值分解--多元函数的泰勒展开-Toy模板网

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二次型

概念

示例

性质和特点

特征值与特征向量

概念

示例

注意

性质和特点

特征值分解

注意

多元函数的泰勒展开

回顾一元函数泰勒展开

多元函数的泰勒展开

二次型

二次型是一个关于向量的二次多项式，通常用矩阵表示。

考虑一个n维向量x = [x₁, x₂, ..., xn]，对应的二次型可以表示为：

Q(x) = xᵀA𝑥

其中，xᵀ表示向量x的转置，A是一个n×n的实对称矩阵。

线性代数高级--二次型--特征值与特征向量--特征值分解--多元函数的泰勒展开

二次型可以使用向量与矩阵相乘的形式表示

线性代数高级--二次型--特征值与特征向量--特征值分解--多元函数的泰勒展开

为了研究方便，二次型使用x^T^Ax的形式表示，其中，中间的矩阵A为对称矩阵

线性代数高级--二次型--特征值与特征向量--特征值分解--多元函数的泰勒展开

对称性：如果系数矩阵A是对称矩阵，即Aᵀ = A，那么二次型Q(x)是对称的，即Q(x) = Q(xᵀ)。
标准形式：通过合适的线性变换，可以将任何二次型转化为标准形式。标准形式是指二次型只包含平方项，而没有交叉项和常数项。通过正交变换可以实现这样的转化。
矩阵特征值：二次型的矩阵A的特征值与二次型的正负定性相关。如果A的所有特征值都大于零，则二次型是正定的；如果所有特征值都小于零，则二次型是负定的；如果特征值既有正又有负，则二次型是不定的。
几何意义：二次型在几何上表示为一个二次曲面或椭圆抛物面。二次型的正负定性与曲面的凸凹性和极值点的性质相关。
应用：二次型在优化问题、矩阵理论、统计学、物理学等领域中有广泛的应用。它们在最小二乘问题、二次规划、协方差矩阵分析、精确度矩阵等方面发挥重要作用。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式Ax = λx成立，那么，λ称为方阵A

的特征值；非零向量x称为A的属于特征值λ的特征向量。

线性代数高级--二次型--特征值与特征向量--特征值分解--多元函数的泰勒展开

则数3为方阵[4 -2,1 1]的特征值；非零向量(2,1)为方阵[4 -2,1 1]的属于特征值3的特征向量。

特征值与特征向量是针对方阵而言的

特征向量是非零向量

同一个特征值λ对应无穷多个特征向量

特征向量：特征向量v是与特征值λ关联的非零向量。它表示在矩阵A的作用下，保持在该方向上只发生伸缩变化而不改变方向。
特征值：特征值λ是与特征向量v关联的标量。它表示特征向量v在矩阵A的作用下发生的伸缩比例。特征值可以是实数或复数。
特征空间：特征空间是由所有与特定特征值关联的特征向量所张成的向量空间。对于特定特征值λ，特征空间包含所有满足A·v = λ·v的特征向量v。
特征分解：特征分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的形式。对于一个可对角化的矩阵，可以表示为 A = P·D·P⁻¹，其中P是由特征向量组成的矩阵，D是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值。
特征值与矩阵性质：特征值与矩阵的很多性质和行为密切相关。例如，特征值的个数等于矩阵的秩；矩阵的特征值之和等于其主对角线上元素之和（迹）；特征值的乘积等于矩阵的行列式。