一 、目的：
1.掌握最短路径算法的基本原理及编程实现；
二 、环境：
operating system version：Win11
CPU instruction set: x64
Integrated Development Environment：Viusal Studio 2022
三 、内容：
1)建立一张图，选择一种存储结构(邻接矩阵或邻接表)初始化该图；
2)用Dijkstra算法实现点与点之间的最短路径。
四 、要求：
1) 实现图的两种表示方法；
2) 实现Dijkstra算法；
五 、步骤：
1. 程序：
#include<iostream>
#define MVNum 100
#define MaxInt 32767 //极大值，即∞
using namespace std;
typedef int ArcType;
typedef char VerTextType[20];
int* D = new int[MVNum];
bool* S = new bool[MVNum];
int* Path = new int[MVNum];
typedef struct ArcNode //边结点
{
int adjver; //该边所指向的顶点位置
struct ArcNode* nextarc; //指向下一条边的指针
ArcType weight;
} ArcNode;
typedef struct VNode //顶点信息
{
VerTextType data;
ArcNode* firstarc;
} VNode, AdjList[MVNum];
typedef struct node
{
AdjList vertices;
int vexnum; //图的当前顶点数
int arcnum; //图的当前边数
} ALGraph;
//临接表存储方式最短路径（dijkstra）,复杂度O(n^2)
void ShortestPath_DIJ2(ALGraph G, int v0, ArcType D[], int Path[])
{
int ok[MVNum], i, j; // ok数组标记是否确定最短路径
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
ok[i] = 0;
Path[i] = -1;
D[i] = MaxInt;
}
D[v0] = 0;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
int min_node = -1;
for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
if (ok[j] == 0 && (min_node == -1 || D[j] < D[min_node])) {
min_node = j;
}
}
if (min_node == -1) break;
ok[min_node] = 1;
ArcNode* cur = G.vertices[min_node].firstarc;
while (cur != NULL) {
if (ok[cur->adjver] == 0 && D[cur->adjver] > D[min_node] + cur->weight) {
D[cur->adjver] = D[min_node] + cur->weight;
Path[cur->adjver] = min_node;
}
cur = cur->nextarc;
}
}
}
//图的邻接矩阵
typedef struct
{
char vexs[MVNum]; //顶点表
int arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
}Graph;
void InitGraph(Graph& G, int vex)
{
cout << "输入点的名称，如a" << endl;
for (int i = 0; i < vex; ++i) {
cout << "请输入第" << (i + 1) << "个点的名称:";
cin >> G.vexs[i];
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < vex; ++i) //初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值MaxInt
for (int j = 0; j < vex; ++j)
{
if (j != i)
G.arcs[i][j] = MaxInt;
else
G.arcs[i][j] = 0;
}
}
//确定点v在G中的位置
int LocateVex(Graph G, char v, int vex) {
for (int i = 0; i < vex; ++i)
if (G.vexs[i] == v)
return i;
return -1;
}
//创建无向网G
void CreateUDN(Graph& G, int vex, int arc)
{
int i, j, k;
cout << "输入边依附的顶点(node1 node2 weight)" << endl;
for (k = 0; k < arc; ++k) { //构造邻接矩阵
char v1, v2;
int o;
cout << "请输入第" << (k + 1) << "条边依附的顶点和对应的权值:";
cin >> v1 >> v2 >> o;
i = LocateVex(G, v1, vex); j = LocateVex(G, v2, vex);
G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j] = o;
}
}
void DisplayGraph(Graph G, int vex)
{
int i, j;
for (i = 0; i < vex; ++i) {
for (j = 0; j < vex; ++j) {
if (G.arcs[i][j] != MaxInt)
cout << G.arcs[i][j] << "\t";
else
cout << "∞" << "\t";
}
cout << endl;
}
}
//用Dijkstra算法求无向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径
void ShortestPath_DIJ(Graph G, int v0, int vex) {
int v, i, w, min;
int n = vex;
for (v = 0; v < n; ++v) {
S[v] = false;
D[v] = G.arcs[v0][v];
if (D[v] < MaxInt) Path[v] = v0;
else Path[v] = -1;
}
S[v0] = true;
D[v0] = 0;
for (i = 1; i < n; ++i) {
min = MaxInt;
for (w = 0; w < n; ++w)
if (!S[w] && D[w] < min) {
v = w;
min = D[w];
}//if
S[v] = true;
for (w = 0; w < n; ++w) //更新从v0出发到集合V?S上所有顶点的最短路径长度
if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])) {
D[w] = D[v] + G.arcs[v][w]; //更新D[w]
Path[w] = v; //更改w的前驱
}
}
for (int i = 0; i < vex; i++) {
if (D[i] != 0)
if (D[i] != MaxInt)
cout << "到" << G.vexs[i] << "最短路径长度:" << D[i] << endl;
else
{
cout << "到" << G.vexs[i] << "最短路径长度:" << "无法到达" << endl;
}
}
}
int main()
{
Graph G;
int vexnum, arcnum;
cout << "请分别输入总顶点数和总边数:";
cin >> vexnum >> arcnum;
cout << endl;
InitGraph(G, vexnum);
int v = 0;
CreateUDN(G, vexnum, arcnum);
cout << endl;
cout << "已创建无向图G" << endl << endl;
DisplayGraph(G, vexnum);
int v0 = LocateVex(G, '0', vexnum);
ShortestPath_DIJ(G, v0, vexnum);
}
2.程序结果：
1）程序运行，我使用的测试数据如下所示：
2）我采用邻接矩阵的方式实现最短路径的存储。创建的无向图G如下：
3）最终通过Dijkstra算法输出源点0到其余节点的最短路径如下：
六 、小结：
此次是关于Dijkstra最短路径算法的编程与实现。我先分别尝试了采用邻接矩阵以及邻接表的存储结构，比较了他们的优缺点：其中图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。从这个矩阵中，可以较容易知道图中的信息。1）可以判断任意两顶点是否有边无边；2）可以知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；而邻接表则是将图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储。图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-509411.html
最终我在构建图的时候选择了邻接矩阵的方式实现。通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是O(N2)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)。整个程序的基本思想是：设置两个顶点集S和T，集合S中存放已经找到最短路径的顶点，集合T中存放着当前还未找到最短路径的顶点；初始状态下，集合S中只包含源点V1，T中为除了源点以外的其他顶点，此时源点到各顶点的最短路径为两个顶点所连的边上的权值，若是源点V1到该顶点没有边，则最小路径为无穷大；从集合T中选取到源点V1的路径长度最短的顶点Vi加入到集合S中；修改源点V1到集合T中剩余顶点Vj的最短路径长度。新的最短路径长度值为Vj原来的最短路径长度值与顶点Vi的最短路径长度加上Vi到Vj的路径长度值中的较小者；不断重复步骤三、4，直至集合T的顶点所有加入到集合S中。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-509411.html
到了这里，关于最短路径算法的编程与实现 C语言的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
