线性代数基础--矩阵

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数基础--矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

矩阵

线性代数基础--矩阵 矩阵是由排列在矩形阵列中的数字或其他数学对象组成的表格结构。它由行和列组成,并且在数学和应用领域中广泛使用。

基本概念

  1. 元素:矩阵中的每个数字称为元素。元素可以是实数、复数或其他数学对象。

  2. 维度:矩阵的维度表示矩阵的行数和列数。一个 m × n 的矩阵有 m 行和 n 列。

  3. 行向量和列向量:矩阵中的行可以看作是行向量,列可以看作是列向量。

  4. 主对角线:矩阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线。主对角线上的元素称为主对角元素。

  5. 零矩阵:所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,通常表示为 0。

  6. 单位矩阵:主对角线上的元素全为 1,其余元素全为零的矩阵称为单位矩阵,通常表示为 I。

  7. 矩阵运算:矩阵可以进行加法、减法和乘法运算。加法和减法的操作是逐个对应元素相加或相减。矩阵乘法是一种复合运算,需要满足乘法规则。

  8. 转置:矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

  9. 逆矩阵:对于方阵 A,如果存在一个矩阵 B,使得 A × B = B × A = I,那么矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵。

矩阵一般使用大写字母表示

如下图所示,矩阵A表示由mxn个数排成 m行n列的数表

线性代数基础--矩阵

则A矩阵叫做m行n列矩阵,简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ,a~ij~叫做矩阵A的第i行第j列的元素。 

方阵、对称矩阵、单位矩阵 

  • 方阵

方阵是指行数和列数相等的矩阵。换句话说,方阵的维度为 n × n,其中 n 表示方阵的阶数。方阵可以是任意的维度,例如 2 × 2、3 × 3、4 × 4 等。

  • 对称矩阵

对称矩阵是一种特殊类型的方阵,它满足矩阵的主对角线对称性,即矩阵中第 i 行第 j 列的元素等于第 j 行第 i 列的元素。换句话说,如果 A 是一个方阵,且对于所有的 i 和 j,都有 A(i, j) = A(j, i),那么矩阵 A 就是对称矩阵。对称矩阵通常在许多领域中具有特殊的性质和应用,例如在线性代数中的特征值和特征向量计算中经常涉及到对称矩阵。

例如:

线性代数基础--矩阵

就是个对称矩阵。

  • 单位矩阵

    单位矩阵是一个特殊的方阵,它的主对角线上的元素都是 1,而其余元素都是 0。单位矩阵的维度通常用 n 表示,表示一个 n × n 的方阵。单位矩阵通常用符号 I 表示。对于任何与单位矩阵相乘的矩阵 A,都会得到原始矩阵 A,即 A × I = I × A = A。单位矩阵在线性代数中扮演着类似于数字中的数字 1 的角色,它是矩阵乘法中的单位元素。

    线性代数基础--矩阵

特点:主对角线都是1,其它位置是0

注意

对称矩阵、单位矩阵都是方阵!

矩阵的基本运算

  • 矩阵的加减

矩阵的加减法就是矩阵的对应位置相加减

线性代数基础--矩阵

  • 矩阵的数乘

    用实数与矩阵的每个元素相乘

    线性代数基础--矩阵

  • 转置

    矩阵的转置就是行变列,列变行,变成一个新的矩阵

    线性代数基础--矩阵

注意

对称矩阵的转置矩阵是其本身!

例如:下面这个对称矩阵的转置矩阵仍是其本身

线性代数基础--矩阵

 矩阵乘法

矩阵和向量的乘法

线性代数基础--矩阵

矩阵T与向量a相乘

  • 矩阵T的列数必须和向量a的元素个数一致
  • 分别用矩阵的每一行与向量进行内积(点乘)运算,得到的数作为结果向量的某个元素
  • 矩阵T实际上将向量a转换成了向量b
  • 可以把矩阵理解成向量的函数

线性代数基础--矩阵

矩阵和矩阵的乘法

前提:左矩阵的列数必须与右矩阵的行数一致

矩阵与矩阵的乘法可以看作:左矩阵分别与右矩阵的每一列(相当于列向量)相乘,得到的每一个列向量作为结果矩阵的每一列

线性代数基础--矩阵

例子:

线性代数基础--矩阵

注意

对于单位矩阵E,如果满足与矩阵A相乘的条件,则:EA=AE=A

 矩阵乘法的运算规律

线性代数基础--矩阵

逆矩阵 

逆矩阵的定义

对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B,使AB=BA=E,E为单位矩阵,则称方阵A是可逆

的,并称方阵B为方阵A的逆矩阵,简称A的逆,记为A^-1^.

  • 可逆矩阵一定是方阵,并且逆矩阵一定是其同阶方阵
  • 定义中A与B互为逆阵
  • 可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 (non-singular);不可逆矩阵叫做奇异矩阵 (singular)

线性代数基础--矩阵

逆矩阵的性质

  1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的,如果矩阵 A 的逆存在,那么它是唯一的。换句话说,不存在两个不同的矩阵 B 和 C,使得 A × B = B × A = I。
  2. 若A可逆,则A^-1^也可逆,且(A^-1^)^-1^=A
  3. 若A可逆,则A^T^也可逆,且(A^T^)^-1^=(A^-1^)^T^
  4. 若A、B为同阶方阵且均可逆,则AB也可逆,且(AB)^-1^=B^-1^A^-1^

判断一个矩阵是否可逆的方法是计算其行列式。如果一个方阵的行列式不等于零,那么它是可逆的;如果行列式等于零,那么它是奇异的或不可逆的。

逆矩阵在解线性方程组和矩阵变换中具有重要作用。例如,对于线性方程组 A × X = B,其中 A 是系数矩阵,X 是未知向量,B 是常数向量,如果 A 是可逆的,那么解可以通过左乘 A 的逆矩阵得到,即 X = A^(-1) × B。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-513747.html

到了这里,关于线性代数基础--矩阵的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 线性代数的学习和整理1:用EXCEL进行基础的矩阵计算

    目录 1 写在最开始的话 EXCEL里计算线性代数的起点 心得 内容 2 EXCEL里矩形的加法 2.1  矩阵加法的性质 3 EXCEL里矩阵的减法 4 矩阵标量乘法/ 也称 数乘 4.1 矩阵的标量乘法的性质 5 矩阵点乘, 得到:点积/内积 ,使用mmult() 5.1 矩阵点乘规则 5.2  矩阵的乘法不符合交换性,不能交

    2024年03月20日
    浏览(49)
  • 线性代数本质系列(一)向量,线性组合,线性相关,矩阵

    本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质,本文是本系列第一篇 向量究竟是什么? 向量的线性组合,基与线性相关 矩阵与线性相关 矩阵乘法与线性变换 三维空间中的线性变换 行列式 逆矩阵,列空间,秩与零空间 克莱姆法则 非方阵 点积与对偶性 叉积 以线性变换

    2024年02月04日
    浏览(49)
  • 线性代数:线性方程求解、矩阵的逆、线性组合、线性独立

    本文参考www.deeplearningbook.org一书第二章2.3 Identity and Inverse Matrices 2.4 Linear Dependence and Span 本文围绕 线性方程求解 依次介绍矩阵的逆、线性组合、线性独立等线性代数的基础知识点。 本文主要围绕求解线性方程展开,我们先把线性方程写出来,方程如下: 其中,是已知的;,

    2024年02月08日
    浏览(49)
  • 0203逆矩阵-矩阵及其运算-线性代数

    定义7 对于 n n n 阶矩阵A,如果有一个 n n n 阶矩阵B,使 A B = B A = E AB=BA=E A B = B A = E 则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵。 定理1 若矩阵A可逆,则 ∣ A ∣ ≠ 0 vert Avert not = 0 ∣ A ∣  = 0 证明: A 可逆,即有 A − 1 ,使得 A A − 1 = E ∣ A A − 1 ∣ = ∣ A

    2024年04月13日
    浏览(55)
  • 线性代数——矩阵

    学习高等数学和线性代数需要的初等数学知识 线性代数——行列式 线性代数——矩阵 线性代数——向量 线性代数——线性方程组 线性代数——特征值和特征向量 线性代数——二次型 本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。 从矩阵的转置章节到方阵和行列式

    2023年04月08日
    浏览(254)
  • 线性代数3:矩阵

    目录 矩阵研究的是什么呢? 逆阵 什么叫做逆阵?  例题1:  例题2:  逆阵的存在性 定理1: 定理2: 定理3: 定理4: 拉普拉茨方程 方阵可以的条件  例题3:  Note1: 例题4  Note2:  Note3: Note4:  Note5:  Note6: Note7:  例题5:  逆矩阵的求法: 方法1:伴随矩阵法:  方

    2024年02月13日
    浏览(55)
  • 线性代数——求逆矩阵

    利用计算技巧凑出公式:两边加E、提取公因式、没有公因式可提时利用隐形的E=AA^(-1),因为E可看作系数1 主对角线有矩阵(副对角线是0矩阵),则分别逆后放在原位置 副对角线有矩阵(主对角线是0矩阵),则分别逆后互换位置

    2024年02月11日
    浏览(51)
  • 投影矩阵推导【线性代数】

    如果两个向量垂直,那么满足。但如果两个向量不垂直,我们就将 b 投影到 a 上,就得到了二者的距离,我们也称为向量 b 到直线 a 的误差。这样就有出现了垂直:                (1) 投影向量 p 在直线上,不妨假设  ,那么误差 。带入式(1)中得到: 投影矩阵:  

    2024年02月06日
    浏览(56)
  • 线性代数:矩阵的定义

    目录 一、定义 二、方阵 三、对角阵 四、单位阵 五、数量阵  六、行(列)矩阵  七、同型矩阵 八、矩阵相等 九、零矩阵 十、方阵的行列式

    2024年01月22日
    浏览(39)
  • 线性代数-矩阵的本质

    线性代数-矩阵的本质

    2024年02月11日
    浏览(44)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包