线性代数基础--矩阵-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数基础--矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

矩阵

线性代数基础--矩阵矩阵是由排列在矩形阵列中的数字或其他数学对象组成的表格结构。它由行和列组成，并且在数学和应用领域中广泛使用。

基本概念

元素：矩阵中的每个数字称为元素。元素可以是实数、复数或其他数学对象。
维度：矩阵的维度表示矩阵的行数和列数。一个 m × n 的矩阵有 m 行和 n 列。
行向量和列向量：矩阵中的行可以看作是行向量，列可以看作是列向量。
主对角线：矩阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线。主对角线上的元素称为主对角元素。
零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，通常表示为 0。
单位矩阵：主对角线上的元素全为 1，其余元素全为零的矩阵称为单位矩阵，通常表示为 I。
矩阵运算：矩阵可以进行加法、减法和乘法运算。加法和减法的操作是逐个对应元素相加或相减。矩阵乘法是一种复合运算，需要满足乘法规则。
转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵：对于方阵 A，如果存在一个矩阵 B，使得 A × B = B × A = I，那么矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵。

矩阵一般使用大写字母表示

如下图所示，矩阵A表示由mxn个数排成 m行n列的数表

线性代数基础--矩阵

则A矩阵叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素，a~ij~叫做矩阵A的第i行第j列的元素。

方阵、对称矩阵、单位矩阵

方阵

方阵是指行数和列数相等的矩阵。换句话说，方阵的维度为 n × n，其中 n 表示方阵的阶数。方阵可以是任意的维度，例如 2 × 2、3 × 3、4 × 4 等。

对称矩阵

对称矩阵是一种特殊类型的方阵，它满足矩阵的主对角线对称性，即矩阵中第 i 行第 j 列的元素等于第 j 行第 i 列的元素。换句话说，如果 A 是一个方阵，且对于所有的 i 和 j，都有 A(i, j) = A(j, i)，那么矩阵 A 就是对称矩阵。对称矩阵通常在许多领域中具有特殊的性质和应用，例如在线性代数中的特征值和特征向量计算中经常涉及到对称矩阵。

例如：

线性代数基础--矩阵

就是个对称矩阵。

单位矩阵

单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素都是 1，而其余元素都是 0。单位矩阵的维度通常用 n 表示，表示一个 n × n 的方阵。单位矩阵通常用符号 I 表示。对于任何与单位矩阵相乘的矩阵 A，都会得到原始矩阵 A，即 A × I = I × A = A。单位矩阵在线性代数中扮演着类似于数字中的数字 1 的角色，它是矩阵乘法中的单位元素。

特点：主对角线都是1，其它位置是0

注意

对称矩阵、单位矩阵都是方阵！

矩阵的基本运算

矩阵的加减

矩阵的加减法就是矩阵的对应位置相加减

线性代数基础--矩阵

矩阵的数乘

用实数与矩阵的每个元素相乘
转置

矩阵的转置就是行变列，列变行，变成一个新的矩阵

注意

对称矩阵的转置矩阵是其本身！

例如：下面这个对称矩阵的转置矩阵仍是其本身

线性代数基础--矩阵

矩阵乘法

矩阵和向量的乘法

线性代数基础--矩阵

矩阵T与向量a相乘

矩阵T的列数必须和向量a的元素个数一致
分别用矩阵的每一行与向量进行内积（点乘）运算，得到的数作为结果向量的某个元素
矩阵T实际上将向量a转换成了向量b
可以把矩阵理解成向量的函数

线性代数基础--矩阵

矩阵和矩阵的乘法

前提：左矩阵的列数必须与右矩阵的行数一致

矩阵与矩阵的乘法可以看作：左矩阵分别与右矩阵的每一列（相当于列向量）相乘，得到的每一个列向量作为结果矩阵的每一列

线性代数基础--矩阵

例子：

线性代数基础--矩阵

注意

对于单位矩阵E，如果满足与矩阵A相乘的条件，则：EA=AE=A

矩阵乘法的运算规律

线性代数基础--矩阵

逆矩阵

逆矩阵的定义

对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使AB=BA=E，E为单位矩阵，则称方阵A是可逆

的，并称方阵B为方阵A的逆矩阵，简称A的逆，记为A^-1^.

可逆矩阵一定是方阵，并且逆矩阵一定是其同阶方阵

定义中A与B互为逆阵

可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 (non-singular)；不可逆矩阵叫做奇异矩阵 (singular)

线性代数基础--矩阵

逆矩阵的性质

可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，如果矩阵 A 的逆存在，那么它是唯一的。换句话说，不存在两个不同的矩阵 B 和 C，使得 A × B = B × A = I。
若A可逆，则A^-1^也可逆，且(A^-1^)^-1^=A
若A可逆，则A^T^也可逆，且(A^T^)^-1^=(A^-1^)^T^
若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)^-1^=B^-1^A^-1^

判断一个矩阵是否可逆的方法是计算其行列式。如果一个方阵的行列式不等于零，那么它是可逆的；如果行列式等于零，那么它是奇异的或不可逆的。

逆矩阵在解线性方程组和矩阵变换中具有重要作用。例如，对于线性方程组 A × X = B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知向量，B 是常数向量，如果 A 是可逆的，那么解可以通过左乘 A 的逆矩阵得到，即 X = A^(-1) × B。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-513747.html

到了这里，关于线性代数基础--矩阵的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！