【概率论】贝叶斯公式的作业-Toy模板网

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贝叶斯公式的作业

两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率_____; (结果小数点后保留1位)
【正确答案: 0.5 或 1/2】
解析：
两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，(1)求任取一个零件是合格品的概率：(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。
解：设A₁，A₂分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B表示“取出的是合格品”.
(1)所求概率为
$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=23×0.97+13×0.94=0.96;$
(2)所求概率为
$P(A_2|\overline{B})=\frac{P(A_2\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A_2)P(\overline{B}|A_2)}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{1}{3}×0.06}{0.04}=0.5$
有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率______(结果小数点后保留4位)
【正确答案: 0.5068或1267/2500】
解析：
有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装 30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求
(1) 第一次取出的零件是一等品的概率；
(2) 在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.
解：设 $A_1$ ， $A_2$ 分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B₁，B₂分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”
(1)所求概率为 $P(B_1)=P(A_1)P(B_1|A_1)+P(A_2)P(B_1|A_2)=\frac{1}{2}×\frac{20}{50}+\frac{1}{2}×\frac{18}{30}=0.5$
(2)因 $P(B_1B_2)=P(A_1)P(B_1B_2|A_1)+P(A_2)P(B_1B_2|A_2)=\frac{1}{2}×\frac{20}{50}×\frac{19}{49}+\frac{1}{2}×\frac{18}{30}×\frac{17}{29}=\frac{3601}{14210}$ ，故所求概率为 $P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}=\frac{3601/14210}{0.5}=\frac{3601}{7105}=0.5068$
学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率。
(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2，则学生确实知道答案的概率为：_____ 。
【正确答案: 0.8或4/5】
(2) 学生知道正确答案的概率是 0.2.则学生确实知道答案的概率为：_____ 。
【正确答案: 0.5或1/2】
解析：
学生在做一道有 4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率。
(1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是 1/2；
(2)学生知道正确答案的概率是0.2.
解：设 $A_1,A_2$ 分别表示 “学生知道正确答案、胡乱猜测”，B表示“题答对了”。
(1)因 $P(A_1)=0.5, P(A_2)=0.5$
故所求概率为
$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{0.5×1}{0.5×1+0.5×0.25}=\frac{0.5}{0.625}=0.8$
(2)因 $P(A_1)=0.2, P(A_2)=0.8$
故所求概率为
$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}=\frac{0.2×1}{0.2×1+0.8×0.25}=\frac{0.2}{0.4}=0.5$
已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为 22：21 的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是=_____ ; (结果保留小数点后4位)
【正确答案: 0.9544】
解析：
设A₁，A₂分别表示“此人是男性、女性”，B表示“此人是色盲患者”，故所求概率为 $P(A_{1}|B)= \frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}= \frac { \frac {22}{43} \times 0.05}{ \frac {22}{43} \times 0.05+ \frac {21}{43} \times 0.0025}=0.9544$
口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的。现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为=_______;(结果要求用约分数形式表示, 或小数点后保留3位)
【正确答案: 2/3或 0.667】
解析：
设 A₁，A₂ 分别表示 “原来那个球是白球、黑球”，B表示“取出的是白球”，
故所求概率为 $P(A_{1}|B)= \frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}= \frac {0.5 \times 1}{0.5 \times 1+0.5 \times 0.5}= \frac {0.5}{0.75}= \frac {2}{3}$
将4根绳子的8个头任意两两相接，求恰好结成4个圈的概率=______ 。
【正确答案: 1/105】
解析：
样本点总数为 $\cdots 3 \cdot 1=(2n-1)!!$ ，事件A=“恰好结成 n个圈”所含样本点个数 K=1，故所求概率为 $\frac {1}{(2n-1)!!}$
甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷.每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第一次由甲掷的概率为:_____ 【正确答案：1】，第二次由甲掷的概率为:_____ 【正确答案:5/6】 , 第三次由甲掷的概率为:______ 【正确答案:13/18】 , 第4次有甲掷的概率为:______ 【正确答案: 35/54】;
解析：
设 $A_k$ 表示“第k次由甲掷骰子”，k=1,2,……，有 $P(A_1)=1$
则 $P(A_k)=P(A_{k-1})P(A_{k}|A_{k-1})+P(\overline A_{k-1})P(A_{k}|\overline A_{k-1})=P(A_{k-1})\cdot\frac{5}{6}+[1-P(A_{k-1})]\cdot \frac{1}{6}= \frac {1}{6}+ \frac {2}{3}P(A_{k-1})$
故 $P(A_{n})= \frac {1}{6}+ \frac {2}{3}P(A_{n-1})= \frac {1}{6}+ \frac {2}{3}[ \frac {1}{6}+ \frac {2}{3}P(A_{n-2})]= \frac {1}{6}+ \frac {2}{3} \cdot \frac {1}{6}+\left ( \frac {2}{3} \right )^{2}P(A_{n-2})= \frac {1}{6}+ \frac {2}{3} \cdot \frac {1}{6}+ \cdots + \left ( \frac {2}{3} \right )^{n-2} \cdot \frac {1}{6}+ \left ( \frac {2}{3} \right )^{n-1} \cdot P(A_{1})= \frac { \frac {1}{6}[1- \left ( \frac {2}{3} \right )^{n-1}]}{1- \frac {2}{3}}+ \left ( \frac {2}{3} \right )^{n-1}= \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} \cdot \left ( \frac {2}{3} \right )^{n-1}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-513804.html

附：系列文章

序号	概率论	直达链接
1	几何概率、条件概率及全概率公式作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131453732
2	条件概率与独立性题目	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131445673
3	全概率与贝叶斯公式作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131453510
4	贝叶斯公式的作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131454384
5	独立性作业（一）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131473856
6	独立性作业（二）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131474088
7	随机变量函数的分布	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487458
8	随机变量的方差与标准差作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487036
9	连续型随机变量的分布函数及数学期望（一）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131482805
10	连续型随机变量的分布函数及数学期望（二）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131482984
11	常用的离散分布	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487115
12	常用连续分布（一）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487232
13	常用连续分布（二）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487306
14	多维随机变量函数的分布（一）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131488172
15	多维随机变量函数的分布（二）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131488282
16	多维随机变量函数的分布（三）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131488391
17	多维随机变量及其联合分布作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487796
18	边际分布的作业	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131487983
19	大数定律	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131006831
20	中心极限定理（一）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131020595
21	中心极限定理（二）	https://want595.blog.csdn.net/article/details/131047033