多状态动态规划之按摩师-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了多状态动态规划之按摩师。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1. 题目分析

题目链接选自力扣 : 面试题 17.16. 按摩师

还是一样, 根据给的示例 1 来分析看看 :

进过分析, 一共有这样几个规定 :

相邻预约不能同时接受
可以从任意一个预约开始
不能之前的
最终总的预约时长要最长的

2. 状态表示

以 i 位置为结尾, 表示从某一个位置预约开始到 i 位置结束时的预约最长时间. 用 dp[i] 表示.

对于这个题来说, 它还有一点特殊. 你会发现, 当你以上面的状态表示时, 还可以分为其它状态. 什么意思呢 ?

当达到 i 位置后, 预约了 i 位置

我们把这种情况以 f[i] 表示, 即以某一个位置预约开始到 i 位置结束时, nums[i] 必选, 此时的最长预约时间

当到达 i 位置后, 不预约 i 位置

我们把这种情况以 g[i] 表示, 即以某一个位置月月开始到 i 位置结束时, nums[i] 不选, 此时的最长预约时间

这种多种状态细分状态表示的问题我们称为多状态动态规划. 特点就是状态多可以接着细分 ! 有多个不同状态下的状态转移方程 ! ! !

3. 状态转移方程

同样以最近的一步来划分问题. 由于我们把这个问题更加细分了, 状态转移方程也就和之前的有一点不一样了. 一起来看看

到达 i 位置时, 预约 nums[i]

这种情况下, 选择了 nums[i], 相邻的 nums[i-1] 就无法预约了. 只需要知道从起始位置到达 i - 1 位置时的最长预约时间加上 nums[i] 就是最终预约时间. 而这对应到我们的状态方程中则为 g[i-1].

最终为这种情况下的最长预约时长为: g[i-1] + nums[i]

到达 i 位置时, 不预约 nums[i]

当到达 i 位置时, 不预约 nums[i], 那么意味着前面一个 nums[i-1] 有两种情况

预约 nums[i-1]

根据状态转移方程, 这时候的最长预约时长就是从起始位置到 i-1 并预约 nums[i-1] 的最长预约时长. 正好对应我们的状态表示, 即为 f[i-1]

拒绝 nums[i-1]

根据状态转移方程, 这时候的最长预约时长就是从起始位置到达 i - 1 位置是的最长预约时长. 正好对应我们的状态表示, 即为 g[i-1]

最终到达 i 位置时不选择 nums[i] 细分的两种情况选择预约时长最长的那种, 最终结果为 : Math.max( f[i - 1], g[i - 1] )

这里需要注意的是, 由于我们是多状态的转台表示. 因此最终的结果是需要分开进行处理的. 也就是最终的状态转移方程有两个

f[i] = g[i-1] + nums[i]
g[i] = Math.max( f[i - 1], g[i - 1] )

4. 初始化

在填写 f[i] 时根据状态转移方程 f[i] = g[i-1] + nums[i] 和 **Math.max( f[i - 1], g[i - 1] ) **会存在越界情况. 因此我们需要初始化 g[0] 和 f[0].

经过分析, 当只有一个元素时. 最长的预约时长就是 nums[0] 它是必选的, 对应到我们的状态表示则为 f[0] = nums[0].
同样, 当只有一个元素时, 可以选择拒绝不预约, 此时的最长预约时间就是 0. 对应到我们的状态表示则为 g[0] = 0

5. 填表顺序

填表顺序还是很清晰的, 一个线性的表, 从左往右填写即可.

6. 返回值

根据题目要求, 返回到达指定数组的末尾位置时最长的预约时间. 而我们的转态表示有两种情况. 一种到达结尾时预约该点. 一种不预约最终都有一个最长预约时间. 而我们要的是两种情况的最长预约时间. 因此返回值为 Math.max( f[n-1], g[i-1] ) ( 注意下标的对应关系 )文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-514560.html

7. 代码演示

class Solution {
    public int massage(int[] nums) {

        // 1. 创建 dp 表
        // 有两个状态表示, 需要两个 dp 表
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[n]; // 表示预约 nums[i]
        int[] g = new int[n]; // 表示不预约 nums[i]

        // 特殊情况处理, 防止 f[0] 初始化越界
        if(n == 0) {
            return 0;
        }
        
        // 2. 初始化
        f[0] = nums[0];
        g[0] = 0;

        // 3. 填写 dp 表
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            // 根据状态转移方程填写
            f[i] = g[i - 1] + nums[i];
            g[i] = Math.max(f[i - 1], g[i -1]); 
        }

        // 4. 确认返回值
        return Math.max(f[n - 1], g[n - 1]);
    }
}