0. 正态分布简介
正态分布应该是概率论和数理统计中最重要的一类概率分布,最早的完整论述是由数学王子高斯提出,高斯主要用来分析观测的误差分析中推导出正态分布。虽然随着概率统计学的发展,自然分布形式多种多样,但是正态分布仍然可以说是最重要的自然分布。
一维正态分布的概率密度函数如下所示:
f
(
x
)
=
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}
f(x)=σ2π1e−21σ2(x−μ)2
上述概率密度图形如下图所示。
1. 正态分布的数字特征
正态分布的期望也就是均值如下式所示。
E
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
x
⋅
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
x
−
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
+
∫
−
∞
∞
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
\begin{aligned} E(x)&=\int _{-\infty}^{\infty} xf(x) dx=\int _{-\infty}^{\infty} x\cdot\frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx\\ &=\int _{-\infty}^{\infty} \frac{x-\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx+\int _{-\infty}^{\infty} \frac{\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx \end{aligned}
E(x)=∫−∞∞xf(x)dx=∫−∞∞x⋅σ2π1e−21σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞σx−μ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx+∫−∞∞σμ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx
第一个积分式中用变量变换
z
=
x
−
μ
σ
z=\frac{x-\mu}{\sigma}
z=σx−μ
∫
−
∞
∞
x
−
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
z
⋅
1
2
π
e
−
1
2
z
2
σ
d
z
=
σ
2
π
∫
−
∞
∞
z
e
−
1
2
z
2
d
z
=
σ
2
π
(
∫
−
∞
0
z
e
−
1
2
z
2
d
z
+
∫
0
∞
z
e
−
1
2
z
2
d
z
)
=
σ
2
π
(
∫
−
∞
0
(
−
t
)
e
−
1
2
(
−
t
)
2
d
(
−
t
)
+
∫
0
∞
z
e
−
1
2
z
2
d
z
)
=
σ
2
π
(
∫
∞
0
t
e
−
1
2
t
2
d
t
+
∫
0
∞
z
e
−
1
2
z
2
d
z
)
=
σ
2
π
(
−
∫
0
∞
t
e
−
1
2
t
2
d
t
+
∫
0
∞
z
e
−
1
2
z
2
d
z
)
=
0
\begin{aligned} \int _{-\infty}^{\infty} \frac{x-\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx&=\int _{-\infty}^{\infty} z \cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2}\sigma dz\\ &=\frac{\sigma}{ \sqrt {2 \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz\\ &=\frac{\sigma}{ \sqrt {2 \pi}}(\int _{-\infty}^{0} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz+\int _{0}^{\infty} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz)\\ &=\frac{\sigma}{ \sqrt {2 \pi}}(\int _{-\infty}^{0} (-t) \mathbf e^{-\frac{1}{2}(-t)^2} d(-t)+\int _{0}^{\infty} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz)\\ &=\frac{\sigma}{ \sqrt {2 \pi}}(\int _{\infty}^{0} t \mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2} dt + \int _{0}^{\infty} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz)\\ &=\frac{\sigma}{ \sqrt {2 \pi}}(-\int _{0}^{\infty} t \mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2} dt + \int _{0}^{\infty} z \mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz)\\ &=0 \end{aligned}
∫−∞∞σx−μ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞z⋅2π1e−21z2σdz=2πσ∫−∞∞ze−21z2dz=2πσ(∫−∞0ze−21z2dz+∫0∞ze−21z2dz)=2πσ(∫−∞0(−t)e−21(−t)2d(−t)+∫0∞ze−21z2dz)=2πσ(∫∞0te−21t2dt+∫0∞ze−21z2dz)=2πσ(−∫0∞te−21t2dt+∫0∞ze−21z2dz)=0
第二个积分式其实就是正态分布的累积函数
∫
−
∞
∞
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
μ
⋅
∫
−
∞
∞
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
μ
⋅
1
\int _{-\infty}^{\infty} \frac{\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx=\mu \cdot\int _{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx=\mu\cdot1
∫−∞∞σμ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx=μ⋅∫−∞∞σ2π1e−21σ2(x−μ)2dx=μ⋅1
因此,
E
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
x
−
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
+
∫
−
∞
∞
μ
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
0
+
μ
⋅
1
=
μ
\begin{aligned} E(x)&=\int _{-\infty}^{\infty} \frac{x-\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx+\int _{-\infty}^{\infty} \frac{\mu}{\sigma}\cdot\frac{1}{ \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx\\ &=0+\mu\cdot1\\ &=\mu \end{aligned}
E(x)=∫−∞∞σx−μ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx+∫−∞∞σμ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx=0+μ⋅1=μ
正态分布的方差如下式所示。
V
a
r
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
E
(
x
)
)
2
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
⋅
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
σ
)
2
⋅
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
\begin{aligned} Var(x)&=\int _{-\infty}^{\infty} (x-E(x))^2f(x) dx=\int _{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2\cdot\frac{1}{\sigma \sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx\\ &=\int _{-\infty}^{\infty} (\frac{x-\mu}{\sigma })^2 \cdot\sigma \cdot\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx \end{aligned}
Var(x)=∫−∞∞(x−E(x))2f(x)dx=∫−∞∞(x−μ)2⋅σ2π1e−21σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞(σx−μ)2⋅σ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx
对上式使用变量变换
z
=
x
−
μ
σ
z=\frac{x-\mu}{\sigma}
z=σx−μ
V
a
r
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
σ
)
2
⋅
σ
⋅
1
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
z
2
⋅
σ
2
π
e
−
1
2
z
2
σ
d
z
=
σ
2
2
π
∫
−
∞
∞
z
2
⋅
e
−
1
2
z
2
d
z
\begin{aligned} Var(x)&=\int _{-\infty}^{\infty} (\frac{x-\mu}{\sigma })^2 \cdot\sigma\cdot\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}dx\\ &=\int _{-\infty}^{\infty} z^2 \cdot\frac{\sigma}{\sqrt {2 \pi}}\mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2}\sigma dz\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt {2 \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} z^2 \cdot\mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz \end{aligned}
Var(x)=∫−∞∞(σx−μ)2⋅σ⋅2π1e−21σ2(x−μ)2dx=∫−∞∞z2⋅2πσe−21z2σdz=2πσ2∫−∞∞z2⋅e−21z2dz
对上式使用变量变换
t
=
z
2
t=\frac{z}{\sqrt2}
t=2z
V
a
r
(
x
)
=
σ
2
2
π
∫
−
∞
∞
z
2
⋅
e
−
1
2
z
2
d
z
=
σ
2
2
π
∫
−
∞
∞
(
2
t
)
2
⋅
e
−
1
2
(
2
t
)
2
d
(
2
t
)
=
σ
2
2
π
∫
−
∞
∞
2
t
2
⋅
e
−
t
2
⋅
2
d
t
=
2
σ
2
π
∫
−
∞
∞
t
2
⋅
e
−
t
2
d
t
=
2
σ
2
π
∫
−
∞
∞
(
−
1
2
t
)
⋅
d
(
e
−
t
2
)
=
2
σ
2
π
[
(
−
1
2
t
)
⋅
e
−
t
2
∣
−
∞
+
∞
−
∫
−
∞
∞
(
e
−
t
2
)
⋅
d
(
−
1
2
t
)
]
\begin{aligned} Var(x) &=\frac{\sigma^2}{\sqrt {2 \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} z^2 \cdot\mathbf e^{-\frac{1}{2}z^2} dz\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt {2 \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} (\sqrt2 t)^2 \cdot\mathbf e^{-\frac{1}{2} (\sqrt2 t)^2} d (\sqrt2 t)\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt {2 \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} 2 t^2 \cdot\mathbf e^{- t^2} \cdot \sqrt2 dt\\ &=\frac{2\sigma^2}{\sqrt { \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} t^2 \cdot\mathbf e^{- t^2} dt\\ &=\frac{2\sigma^2}{\sqrt { \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} (-\frac{1}{2}t) \cdot d(\mathbf e^{- t^2})\\ &=\frac{2\sigma^2}{\sqrt { \pi}}[(-\frac{1}{2}t)\cdot\mathbf e^{- t^2}|_{-\infty}^{+\infty}-\int _{-\infty}^{\infty} (\mathbf e^{- t^2}) \cdot d(-\frac{1}{2}t)] \end{aligned}
Var(x)=2πσ2∫−∞∞z2⋅e−21z2dz=2πσ2∫−∞∞(2t)2⋅e−21(2t)2d(2t)=2πσ2∫−∞∞2t2⋅e−t2⋅2dt=π2σ2∫−∞∞t2⋅e−t2dt=π2σ2∫−∞∞(−21t)⋅d(e−t2)=π2σ2[(−21t)⋅e−t2∣−∞+∞−∫−∞∞(e−t2)⋅d(−21t)]
上式中第一项等于零,因为
lim
t
→
−
∞
t
⋅
e
−
t
2
=
lim
t
→
−
∞
t
e
t
2
=
0
lim
t
→
+
∞
t
⋅
e
−
t
2
=
lim
t
→
+
∞
t
e
t
2
=
0
\lim_{t\to-\infty} t\cdot\mathbf e^{- t^2}=\lim_{t\to-\infty} \frac{t}{\mathbf e^{t^2}}=0\\ \lim_{t\to+\infty} t\cdot\mathbf e^{- t^2}=\lim_{t\to+\infty} \frac{t}{\mathbf e^{t^2}}=0
t→−∞limt⋅e−t2=t→−∞limet2t=0t→+∞limt⋅e−t2=t→+∞limet2t=0
那么方差就只剩第二项了,这里要用到
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
d
t
=
π
\int _{-\infty}^{\infty} \mathbf e^{- t^2} dt=\sqrt \pi
∫−∞∞e−t2dt=π,这个方程可以从伽马函数中导出。
V
a
r
(
x
)
=
2
σ
2
π
⋅
1
2
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
d
t
=
σ
2
π
∫
−
∞
∞
e
−
t
2
d
t
=
σ
2
\begin{aligned} Var(x) &=\frac{2\sigma^2}{\sqrt { \pi}}\cdot\frac{1}{2}\int _{-\infty}^{\infty} \mathbf e^{- t^2} dt\\ &=\frac{\sigma^2}{\sqrt { \pi}}\int _{-\infty}^{\infty} \mathbf e^{- t^2} dt\\ &=\sigma^2 \end{aligned}
Var(x)=π2σ2⋅21∫−∞∞e−t2dt=πσ2∫−∞∞e−t2dt=σ2
2. 正态分布的代数运算
a. 单随机变量的代数运算
假设随机变量
X
X
X服从正态分布,
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
X\sim N(\mu,\sigma^2)
X∼N(μ,σ2),那么随机变量
Y
=
a
X
+
b
Y=aX+b
Y=aX+b可由变量变换
X
=
Y
−
b
a
X=\frac{Y-b}{a}
X=aY−b来导出,即随机变量
X
X
X的累积函数为
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
ξ
)
d
ξ
=
∫
−
∞
x
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
ξ
−
μ
)
2
σ
2
d
ξ
=
∫
−
∞
y
−
b
a
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
η
−
b
a
−
μ
)
2
σ
2
d
(
η
−
b
a
)
=
∫
−
∞
y
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
η
−
b
−
a
μ
)
2
a
2
σ
2
1
a
d
η
=
F
(
y
)
\begin{aligned} F(x)&=\int_{-\infty}^xf(\xi)d\xi=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(\xi-\mu)^2}{\sigma^2}}d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{\frac{y-b}{a}} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(\frac{\eta-b}{a}-\mu)^2}{\sigma^2}}d(\frac{\eta-b}{a})\\ &=\int_{-\infty}^{y} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(\eta-b-a\mu)^2}{a^2\sigma^2}}\frac{1}{a}d\eta=F(y) \end{aligned}
F(x)=∫−∞xf(ξ)dξ=∫−∞xσ2π1e−21σ2(ξ−μ)2dξ=∫−∞ay−bσ2π1e−21σ2(aη−b−μ)2d(aη−b)=∫−∞yσ2π1e−21a2σ2(η−b−aμ)2a1dη=F(y)
那么随机变量
Y
Y
Y的概率密度函数为
f
(
y
)
=
d
F
(
y
)
d
y
=
1
a
σ
2
π
e
−
1
2
(
η
−
b
−
a
μ
)
2
a
2
σ
2
f(y)=\frac{dF(y)}{dy}=\frac{1}{a\sigma\sqrt{2\pi}} \mathbf e^{-\frac{1}{2}\frac{(\eta-b-a\mu)^2}{a^2\sigma^2}}
f(y)=dydF(y)=aσ2π1e−21a2σ2(η−b−aμ)2
那么显然随机变量
Y
Y
Y也是正态分布的,且
Y
∼
N
(
b
+
a
μ
,
a
2
σ
2
)
Y\sim N(b+a\mu,a^2\sigma^2)
Y∼N(b+aμ,a2σ2)。
b. 两个正态分布随机变量的和
假设随机变量
X
、
Y
X、Y
X、Y服从正态分布,
X
∼
N
(
μ
X
,
σ
X
2
)
X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2)
X∼N(μX,σX2),
Y
∼
N
(
μ
Y
,
σ
Y
2
)
Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)
Y∼N(μY,σY2),那么
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y服从什么分布呢?
我们从
Z
Z
Z的累积函数定义出发观察,
F
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
z
f
(
Z
)
d
Z
F_Z(z)=\int_{-\infty}^zf(Z)dZ
FZ(z)=∫−∞zf(Z)dZ
由
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y,那么
Z
Z
Z的累积函数一定也可以表示成(X,Y)联合概率密度的积分形式,并且积分域如下图所示
由二重积分的定义出发,我们可以得到
F
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
z
−
x
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f(x,y)dydx
FZ(z)=∫−∞+∞∫−∞z−xf(x,y)dydx
用变量变换
y
=
υ
−
x
y=\upsilon-x
y=υ−x,上式变成
F
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
z
−
x
f
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
z
−
x
f
(
x
,
υ
−
x
)
d
(
υ
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
z
f
(
x
,
υ
−
x
)
d
υ
d
x
\begin{aligned} F_Z(z)&=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f(x,y)dydx=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f(x,\upsilon-x)d(\upsilon-x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{z} f(x,\upsilon-x)d\upsilon dx \end{aligned}
FZ(z)=∫−∞+∞∫−∞z−xf(x,y)dydx=∫−∞+∞∫−∞z−xf(x,υ−x)d(υ−x)dx=∫−∞+∞∫−∞zf(x,υ−x)dυdx
那么随机变量
Z
Z
Z的概率密度函数为
f
Z
(
z
)
=
d
F
Z
(
z
)
d
z
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
z
−
x
)
d
x
f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx
fZ(z)=dzdFZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
如果随机变量
X
、
Y
X、Y
X、Y是独立的,那么
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
f
Y
(
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
1
σ
x
2
π
e
−
(
x
−
μ
x
)
2
2
σ
x
2
1
σ
y
2
π
e
−
(
z
−
x
−
μ
y
)
2
2
σ
y
2
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
1
σ
x
σ
y
2
π
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
−
1
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
σ
x
2
⋅
σ
y
2
x
+
σ
x
z
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
y
μ
x
σ
x
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
x
μ
y
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
)
2
d
x
=
1
σ
x
σ
y
2
π
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
σ
x
2
⋅
σ
y
2
x
+
σ
x
z
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
y
μ
x
σ
x
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
x
μ
y
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
)
2
d
x
=
1
σ
x
σ
y
2
π
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
σ
x
2
⋅
σ
y
2
σ
x
2
+
σ
y
2
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
σ
x
2
⋅
σ
y
2
x
+
σ
x
z
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
y
μ
x
σ
x
σ
x
2
+
σ
y
2
+
σ
x
μ
y
σ
y
σ
x
2
+
σ
y
2
)
2
d
(
σ
x
2
+
σ
y
2
σ
x
2
⋅
σ
y
2
x
)
=
1
2
π
σ
x
2
+
σ
y
2
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
t
2
d
t
\begin{aligned} f_Z(z)&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx =\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma_x\sqrt {2\pi}}\mathbf e^{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}} \frac{1}{\sigma_y\sqrt {2\pi}}\mathbf e^{-\frac{(z-x-\mu_y)^2}{2\sigma_y^2}}dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma_x\sigma_y 2\pi}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}-\frac{1}{2}(\sqrt\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2}{\sigma_x^2\cdot\sigma_y^2}x+\frac{\sigma_xz}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_y\mu_x}{\sigma_x\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_x\mu_y}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}})^2}dx\\ &=\frac{1}{\sigma_x\sigma_y 2\pi}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf e^{-\frac{1}{2}(\sqrt\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2}{\sigma_x^2\cdot\sigma_y^2}x+\frac{\sigma_xz}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_y\mu_x}{\sigma_x\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_x\mu_y}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}})^2}dx\\ &=\frac{1}{\sigma_x\sigma_y 2\pi}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}} \sqrt{\frac{\sigma_x^2\cdot\sigma_y^2}{\sigma_x^2+\sigma_y^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf e^{-\frac{1}{2}(\sqrt\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2}{\sigma_x^2\cdot\sigma_y^2}x+\frac{\sigma_xz}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_y\mu_x}{\sigma_x\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}+\frac{\sigma_x\mu_y}{\sigma_y\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}})^2}d(\sqrt{\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2}{\sigma_x^2\cdot\sigma_y^2}}x)\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2}dt \end{aligned}
fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx=∫−∞+∞σx2π1e−2σx2(x−μx)2σy2π1e−2σy2(z−x−μy)2dx=∫−∞+∞σxσy2π1e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2−21(σx2⋅σy2σx2+σy2x+σyσx2+σy2σxz+σxσx2+σy2σyμx+σyσx2+σy2σxμy)2dx=σxσy2π1e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2∫−∞+∞e−21(σx2⋅σy2σx2+σy2x+σyσx2+σy2σxz+σxσx2+σy2σyμx+σyσx2+σy2σxμy)2dx=σxσy2π1e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2σx2+σy2σx2⋅σy2∫−∞+∞e−21(σx2⋅σy2σx2+σy2x+σyσx2+σy2σxz+σxσx2+σy2σyμx+σyσx2+σy2σxμy)2d(σx2⋅σy2σx2+σy2x)=2πσx2+σy21e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2∫−∞+∞e−21t2dt
这其中
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
t
2
d
t
=
2
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
t
2
d
(
t
2
)
=
2
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
τ
2
d
τ
=
2
⋅
π
\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\sqrt2\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2}d(\frac{t}{\sqrt2})=\sqrt2\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf e^{-\tau^2}d\tau=\sqrt2\cdot\sqrt\pi
∫−∞+∞e−21t2dt=2⋅∫−∞+∞e−21t2d(2t)=2⋅∫−∞+∞e−τ2dτ=2⋅π
那么
f
Z
(
z
)
=
1
2
π
σ
x
2
+
σ
y
2
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
t
2
d
t
=
1
2
π
σ
x
2
+
σ
y
2
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
2
⋅
π
=
1
2
π
σ
x
2
+
σ
y
2
e
−
(
z
−
μ
x
−
μ
y
)
2
2
(
σ
x
2
+
σ
y
2
)
\begin{aligned} f_Z(z)&=\frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf e^{-\frac{1}{2}t^2}dt\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}}\sqrt2\cdot\sqrt\pi\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}}\mathbf e^{-\frac{(z-\mu_x-\mu_y)^2}{2(\sigma_x^2+\sigma_y^2)}} \end{aligned}
fZ(z)=2πσx2+σy21e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2∫−∞+∞e−21t2dt=2πσx2+σy21e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)22⋅π=2πσx2+σy21e−2(σx2+σy2)(z−μx−μy)2
不难得出随机变量
Z
Z
Z也是服从正态分布,并且
Z
∼
N
(
μ
X
+
μ
Y
,
σ
X
2
+
σ
Y
2
)
Z\sim N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)
Z∼N(μX+μY,σX2+σY2)。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-514708.html
c. 多个正态分布随机变量的线性组合
假设随机变量
X
1
、
X
2
、
.
.
.
、
X
n
X_1、X_2、...、X_n
X1、X2、...、Xn服从正态分布,
X
i
∼
N
(
μ
i
,
σ
i
2
)
X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)
Xi∼N(μi,σi2),那么
Z
=
∑
a
i
X
i
Z=\sum a_iX_i
Z=∑aiXi服从什么分布呢?
通过a节、b节内容,不难得出随机变量
Z
Z
Z服从正态分布,且
Z
∼
N
(
∑
a
i
μ
i
,
∑
a
i
2
σ
i
2
)
Z\sim N(\sum a_i\mu_i,\sum a_i^2\sigma_i^2)
Z∼N(∑aiμi,∑ai2σi2)。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-514708.html
到了这里,关于【小呆的概率论学习笔记】正态分布的代数运算的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!