【图论】网络流——最大流和最小费用流-Toy模板网

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【图论】网络流——最大流和最小费用流

1. 最大流问题

主要解决系统中的流量问题：如公路系统中的车辆流、物资调配系统中的物资流、金融系统中的现金流等。

这些问题都可以归结为网络流问题，如何安排使流量最大即最大流问题。

什么是最大流？

如左图能输送两份的水，是最大流；右图只能输送一份的水，不是最大流

【图论】网络流——最大流和最小费用流

1.1 基本概念

网络：图 $D = (V, A, C)$

$V$ ：点集。其中 $v_s$ 为发点，只有发出的弧； $v_t$ 为收点，该点只有进入的弧；其余的点为中间点；
$A$ ：弧集。对于每一条弧 $(v_i,v_j)\in A$
$C$ ：容量集。每一条弧的容量 $c(v_i,v_j)>=0$ （或简记为 $c_{ij}$ )，其中 $C=\{c_{ij}\}$
$f=\{f_{ij}\}=\{f(v_i,v_j)\}$ ：弧 $v_i,v_j)$ 上的流量

可行流：

(1) 容量限制条件： $0\leq f_{ij} \leq c_{ij}$

(2) 平衡条件：

中间点：流出量 = 流入量 $\sum_{j:\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A} f_{i j}-\sum_{k:\left(v_{k}, v_{i}\right) \in A} f_{k i}=0 ;$
发点： $\sum_{j:\left(v_{s}, v_{j}\right) \in A} f_{s j}=v$
收点： $\sum_{k_{:}\left(v_{k}, v_{t}\right) \in A} f_{k t}=v$

式中：v称为这个可行流的流量,即发点的净输出量。

最大流问题可以写为如下的线性规划模型:

$\begin{array}{l} \max v, \\ \text { s. t. }\left\{\begin{array}{ll} \sum_{j:\left(v_{s}, v_{j}\right) \in A} f_{s j}=v, \\ \sum_{j:\left.(v_i, v_{j}\right)\in A} f_{i j}-\sum_{k:\left(v_{k}, v_{i}\right) \in A} f_{k i}=0, & i \neq s, t, \\ \sum_{k:\left(v_{k}, v_{t}\right) \in A} f_{k t}=v, & \\ 0 \leqslant f_{i j} \leqslant c_{i j}, & \forall\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A . \end{array}\right. \end{array}$

1.2 寻求最大流的算法（Ford-Fulerson）

步骤：

建立残差图, 将残差图的容量初始化
当增广路径可以被找到时一直循环以下步骤：

a. 在残差图上一直寻找增广路径
b. 在增广路径上找到容量最小值 $x$
c. 更新残差图上的容量： $增广路径上的容量 = 增广路径上的容量 - x$
d. 添加反向路径。（沿着增广路径的反方向，所有边的权重为x。）

示例：

初始化： 左图为原图，右图为构建的与原图一致的残差图。

【图论】网络流——最大流和最小费用流

第一轮循环：

① 找到如图红线的增广路径

② 可以看到整条路上容量的最大值为3，因此将路径上所有边的容量减去3

③ 去除容量为0的边，并添加值为3的反向路径
【图论】网络流——最大流和最小费用流

第二轮循环

① 找到如图红线的增广路径

② 可以看到整条路上容量的最大值为1，因此将路径上所有边的容量减去1

③ 去除容量为0的边，并添加值为1的反向路径

【图论】网络流——最大流和最小费用流

④ 合并反向路径的容量值

【图论】网络流——最大流和最小费用流

第三轮循环

① 找到如图的增广路径 （注意：这里就体现了增加的反向边的重要性了，如果没有反向边，是找不到从起点到终点的增广路径的）

② 可以看到整条路上容量的最大值为1，因此将路径上所有边的容量减去1

③ 去除容量为0的边，并添加值为1的反向路径

【图论】网络流——最大流和最小费用流

④ 合并反向路径的容量值

【图论】网络流——最大流和最小费用流

第四轮循环

发现没有水流流入 $v_3$ ，因此没有水流从起点到终点，循环终止。

【图论】网络流——最大流和最小费用流

计算容量

$最大流 = 3 + 1 + 1 = 5$

代码

import copy
from collections import deque


def hasPath(Gf, s, t, path):
    # BFS algorithm
    V = len(Gf)
    visited = list(range(V))
    for i in range(V):
        visited[i] = False
    visited[s] = True
    queue = deque([s])	# 起点入队
    while queue:
        temp = queue.popleft()	# 队头元素
        if temp == t:	# 如果到达了终点
            return True
        for i in range(V):	# 遍历队头元素的每个邻点
        	# 如果零点没有被访问且流量为正向
            if not visited[i] and (Gf[temp][i] > 0):
                queue.append(i)
                visited[i] = True
                path[i] = temp   # 节点i的父节点为temp
    return visited[t]


def max_flow(graph, s, t):
    maxFlow = 0
    Gf = copy.deepcopy(graph)
    V = len(Gf)
    path = list(range(V))
    # 只要有增广路径就一直循环
    while hasPath(Gf, s, t, path):
        min_flow = float('inf')

        # 不断利用道路上的父节点回溯，找到增广路径上的容量最小值
        v = t
        while v != s:	
            u = path[v]
            min_flow = min(min_flow, Gf[u][v])
            v = path[v]
        print(min_flow)

        # 增广路径上的容量减去最小值，并添加反向路径
        v = t
        while v != s:
            u = path[v]
            Gf[u][v] -= min_flow
            Gf[v][u] += min_flow
            v = path[v]

        maxFlow += min_flow
    return maxFlow

M=0
capacity = [
[0,16,13,M,M,M],
[M,0,10,12,M,M],
[M,4,0,M,14,M],
[M,M,9,0,M,20],
[M,M,M,7,0,4],
[M,M,M,M,M,0]
]

flow = max_flow(capacity, 0, 5)
print("flow =", flow)

1.3 matlab求最大流

如图求①到⑧的最大流
【图论】网络流——最大流和最小费用流

a=zeros(8);a(1,[2:4])=[6,4,5];
a(2,[3,5,6])=[3,9,9];
a(3,[4:7])=[5,6,7,3];
a(4,[3,7])=[2,5];
a(5,8)=12;
a(6,[5,8])=[8,10];
a(7,[6,8])=[4,15];
G=digraph(a);
H=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight);
[M,F]=maxflow(G,1,8);
F.Edges,highlight(H,F);

【图论】网络流——最大流和最小费用流

2. 最小流问题

2.1 基本概念

在许多实际问题中，往往还要考虑网络流上的费用问题。例如在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务时，寻求一个运输费用最小的方案。

最小流问题可以写为如下的线性规划模型:

设 $b_{ij}$ 为弧 $v_i,v_j)$ 上的单位费用

$\begin{array}{l} \min \sum_{j:\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A} f_{i j}b_{ij} \\ \text { s. t. }\left\{\begin{array}{ll} \sum_{j:\left(v_{s}, v_{j}\right) \in A} f_{s j}=v, \\ \sum_{j:\left.(v_i, v_{j}\right)\in A} f_{i j}-\sum_{k:\left(v_{k}, v_{i}\right) \in A} f_{k i}=0, & i \neq s, t, \\ \sum_{k:\left(v_{k}, v_{t}\right) \in A} f_{k t}=v, & \\ 0 \leqslant f_{i j} \leqslant c_{i j}, & \forall\left(v_{i}, v_{j}\right) \in A . \end{array}\right. \end{array}$

当 $v=最大流v_{max}$ 时，本问题就是最小费用最大流问题；如果 $v>v_{max}$ ，则本问题无解

2.2 求最小流的迭代算法

（1）求出从出发点到收点的最小费用流 $\mu (v_x,v_t)$ 。（类似求最短路）

（2）对该通路 $\mu (v_x,v_t)$ 分配可能的最大流量 $\bar f=\min_{(v_i,v_j)\in \mu(v_s,v_t)}\{c_{ij}\}$ ，并让通路上所有边的容量对应减少 $\bar f$ 。并将通路上的饱和边的单位费用改为 $\infty$ .

（3）作该通路 $\mu (v_s,v_t)$ 所有边 $v_i,v_j)$ 的反向边 $v_j,v_i)$ 。令 $c_{ji}=\bar f，b_{ji}=-b_{ij}$

（4）重复（1）~（3），直到发点到收点的全部流量等于 $v$ 为止，或找不到增广路到 $v$

2.3 matlab 求最大费用最小流

如图带有运费的网络，求从 $v_s$ 到 $v_t$ 的最小费用最大流，其中弧上权重的第1个数字是网络的容量，第2个数字是网络的单位运费。

【图论】网络流——最大流和最小费用流

NN = cellstr(strcat('v',int2str([2:5]')));  % 构造中间节点
NN = {'vs',NN{:},'vt'}; % 添加发点和收点
L ={'vs','v2',5,3;'vs','v3',3,6;'v2','v4',2,8;'v3','v2',1,2;
    'v3','v5',4,2;'v4','v3',1,1;'v4','v5',3,4;'v4','vt',2,10;
    'v5','vt',5,2};
G=digraph;G=addnode(G,NN);
G1=addedge(G,L(:,1),L(:,2),cell2mat(L(:,3)));
[M,F]=maxflow(G1,'vs','vt');    % 求最大流


G2=addedge(G,L(:,1),L(:,2),cell2mat(L(:,4)));
c = full(adjacency(G1,'weighted'));
b = full(adjacency(G2,'weighted'));
f = optimvar('f',6,6,'LowerBound',0);
prob=optimproblem;
prob.Objective = sum(sum(b.*f));
con1 = [sum(f(1,:))==M
    sum(f(:,[2:end-1]))'==sum(f([2:end-1],:),2)
    sum(f(:,end))==M];
prob.Constraints.con1=con1;
prob.Constraints.con2=f<=c;
[sol,fval,flag,out ] = solve(prob);
ff=sol.f;   % 显示最小费用最大流对应的矩阵