线性代数基础--向量-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数基础--向量。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

向量的概念

基本概念

抽象概念

向量的意义

几何意义

物理意义

欧式空间

特点和性质

行向量与列向量

行向量

列向量

两者的关系

向量的基本运算与范数

向量的基本运算

向量的加法

数乘运算（实数与向量相乘）

转置

向量的范数

向量的模与内积

向量的模

向量的内积（点乘）

向量的应用——余弦相似度

向量的概念

线性代数基础--向量

向量是线性代数里面最基本的概念，表示的是一组有序的数，它可以表示大小和方向

X = (X~1~,X~2~,...X~n~)

和向量相对应，⼀个数字，称为标量

除了在几何中的直观表示，向量也可以被抽象地定义为具有一定代数性质的数学对象。向量可以用一组有序的实数或复数分量表示，具有加法和数乘等运算规则。

向量可以用来表示具有大小和方向的物理量，例如位移、速度、加速度、力等。在几何上，向量可以表示为从一个点到另一个点的有向线段，起点和终点分别代表向量的位置。

线性代数基础--向量

位移向量：位移向量用于描述物体从一个位置到另一个位置的位移，包括大小和方向。它可以表示为从起始点到终点的有向线段，描述物体在空间中的移动。
速度向量：速度向量表示物体在某一时刻的速度，包括大小和方向。它是位移向量关于时间的导数，描述物体的位置变化率。
加速度向量：加速度向量表示物体在某一时刻的加速度，包括大小和方向。它是速度向量关于时间的导数，描述物体速度的变化率。
力向量：力向量表示作用在物体上的力，包括大小和方向。根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，方向与力的方向一致。力向量可以用于计算物体的运动和相互作用。
磁场和电场向量：在电磁学中，磁场和电场都可以用向量来表示。磁场向量和电场向量描述了磁场和电场的强度和方向，在电磁相互作用和电磁波传播等现象中起着重要作用。
力矩向量：力矩向量表示施加在物体上的力矩，包括大小和方向。力矩描述了物体绕某一轴旋转的趋势，与施加力的位置和方向有关。
矢量场：矢量场是指在空间中每一点都有一个关联的向量。例如，速度场和电场就是矢量场的示例，它们在空间中的每一点都有一个速度向量或电场向量。

n 维向量集合的全体就构成了 n 维欧式空间，R^n^

例如，所有二维向量构成了二维欧氏空间；所有三维向量构成了三维欧氏空间。

维度：欧氏空间可以是任意维度的，包括一维、二维、三维，甚至更高维度。在二维空间中，我们通常使用平面几何来描述，而在三维空间中，我们使用立体几何来描述。
度量：欧氏空间具有欧几里得度量，即通过距离来度量空间中点之间的间隔。在二维和三维空间中，欧几里得距离可以使用勾股定理计算，即两点之间的直线距离。在n维欧氏空间中，欧几里得距离可以表示为点之间坐标差的平方和的平方根。
坐标系：欧氏空间可以使用坐标系来表示点的位置。在二维空间中，常用笛卡尔坐标系，其中通过两个垂直的坐标轴来确定点的位置。在三维空间中，使用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置。
向量：欧氏空间中的向量具有大小和方向，用于表示物理量和几何对象。向量的加法、减法和数乘操作可以在欧氏空间中定义，使得向量成为对空间中点之间关系的有效描述工具。
内积：欧氏空间中的向量可以进行内积运算。内积是两个向量之间的一种运算，可以用于度量向量之间的夹角和长度。在二维空间中，内积可以通过向量的坐标乘积求和来计算。