第八章作业题必做部分
第八章主要是讲两类信道编码方式，线性分组码以及卷积码。
- 线性分组码：（循环码也是线性分组码的一种），核心是生成矩阵和校验矩阵
- 卷积码：核心是编码器、状态转移图、网格图、转移函数、自由距离、好码恶码判断。卷积码采用维比特译码方案，不过必做部分作业题没有维比特译码，有时间再看。
8-1
解题思路：矩阵第一行和第三行换个顺序，就是系统形式；根据系统形式的G写出校验矩阵；先写出错误图样E（共
2
r
2^r
2r），然后根据
S
=
E
⋅
H
T
S= E \cdot H^T
S=E⋅HT求的伴随式S；最小码距可以根据列出的全部可用码字来计算；计算出101信息序列对应的码字，发现与H相乘为0，所以正交。
解题步骤：
8-2
解题思路：
- 根据循环码的生成多项式直接得到生成矩阵（不是系统形式）；
- 信息位×生成矩阵，得到所有码字；
注：根据循环码的生成多项式得到生成矩阵有两种方法：
- 直接得到生成矩阵（非系统形式的生成矩阵）。分别将生成多项式乘以 g m − 1 , . . . , g 1 , g 0 g^{m-1}, ...,g^1,g^0 gm−1,...,g1,g0，每次得到的系数作为生成矩阵的行；
- 直接计算得到系统形式的生成矩阵。分别求取 g n − 1 m o d ( g ( x ) ) , . . . , g n − m m o d ( g ( x ) ) g^{n-1}mod(g(x)),...,g^{n-m}mod(g(x)) gn−1mod(g(x)),...,gn−mmod(g(x))的系数，分别作为冗余位的行。
解题步骤：
8-4
解题思路：
(a）从
p
14
m
o
d
g
(
p
)
p^{14}mod{g(p)}
p14modg(p)，一共算11个出来。系数作为冗余位的行。
(b) 对偶码（15，4）。先求出
h
(
p
)
h(p)
h(p)，
h
(
p
)
=
p
15
+
1
g
(
p
)
h(p)=\frac{p^{15}+1}{g(p)}
h(p)=g(p)p15+1。之后生成多项式
G
(
p
)
=
p
r
⋅
h
(
p
−
1
)
G(p)=p^r \cdot h(p^{-1})
G(p)=pr⋅h(p−1)；
H
(
p
)
=
p
m
⋅
h
(
p
−
1
)
H(p)=p^m \cdot h(p^{-1})
H(p)=pm⋅h(p−1)
解题过程：
8-5
解题思路：先根据生成多项式，分别用用
p
6
,
p
5
,
p
4
,
p
3
p^6,p^5,p^4,p^3
p6,p5,p4,p3除余
g
(
p
)
g(p)
g(p)，余数作为冗余位系数得到循环汉明码的系统形式生成矩阵。根据生成矩阵得到校验矩阵，在校验矩阵最后一行全添1，最后一列上面全添0，得到扩展汉明码的校验矩阵，再反推出扩展汉明码的生成矩阵，从而得到所有可用码字，计算出
d
m
i
n
d_{min}
dmin。
解题步骤：
8-8
解题思路：
分别得到
h
1
(
p
)
,
h
2
(
p
)
h_1(p),h_2(p)
h1(p),h2(p)，然后
H
1
(
p
)
=
p
m
⋅
h
1
(
p
−
1
)
H_1(p)=p^m \cdot h_1(p^{-1})
H1(p)=pm⋅h1(p−1)，
H
2
(
p
)
=
p
m
⋅
h
2
(
p
−
1
)
H_2(p)=p^m \cdot h_2(p^{-1})
H2(p)=pm⋅h2(p−1)。
解题步骤：
8-10
解题思路：首先根据生成矩阵列出所有可用码字；从而列出标准阵列；标准阵列第一列就是错误图样E；
E
⋅
H
T
E \cdot H^T
E⋅HT就是伴随式。
解题步骤：
8-17
解题思路：位于标准译码表上同一行的码字，具有相同的错误图样。也就是说发生错误的位置是相同的，在相同位置发生两次0和1的错误，相当于没错，所以是有效码字。
解题步骤：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-515267.html
8-23
解题步骤：
上面少了个J，所以后面的结果算得不对，不要看后面的计算过程了
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