三维空间刚体运动之旋转矩阵与变换矩阵

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了三维空间刚体运动之旋转矩阵与变换矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

 1. 旋转矩阵

 1.1 点、向量和坐标系

点:点是空间中的基本元素,没有长度,没有体积;

向量:把两个点连接起来,就构成了向量,向量可以看成从某点指向另一点的一个箭头;只有当我们指定这个三维空间中的某个坐标系时,才可以谈论该向量在此坐标系下的坐标;默认向量就是列向量;
坐标系:三根不共面的轴,坐标系的三根坐标轴的方向向量就是基,坐标系能用它的基来表示;

标准正交基:两两正交、单位长度(基就是张成这个空间的一组线性无关的向量。
 

任意向量在基下的坐标(坐标 + 坐标系可以表示向量)。

eq?%5Cboldsymbol%7Ba%7D%3D%5Cleft%5B%5Cboldsymbol%7Be%7D_1%2C%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_2%2C%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_3%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20a_1%20%5C%5C%20a_2%20%5C%5C%20a_3%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3Da_1%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_1+a_2%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_2+a_3%20%5Cboldsymbol%7Be%7D_3

机器人中有各种各样的坐标系

  • 世界系 World、机体系 Body、传感器参考系 Sensor

向量点乘和叉乘

点乘(内积):结果是一个数

叉乘(外积):结果是一个向量,方向垂直于这两个向量,大小为 |a||b|sin<a,b>

通过上述等式,我们引入符号^,把 写成矩阵, 实际上是一个反对称矩阵,可以把写成矩阵与向量的乘法 ,变成线性运 算。此符号是一个一一映射,意味着任意向量都对应着唯一的一个反对称矩阵,反之亦然:

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2. 坐标系间的欧式变换

2.1 欧式变换之旋转

三维空间刚体运动之旋转矩阵与变换矩阵,矩阵,线性代数

我们假设某个单位正交基 经过一次旋转变成了,这时,对于同一个向量它在两个基坐标系下的坐标分别为 和。因为向量本身并没有发生变化,所以下列等式成立:

为了让两个坐标之间的关系看起来更清晰,我们将上述等式两侧同时左乘此时左侧第一项将变为单位矩阵:

矩阵描述了不同坐标系下同一向量的坐标变换关系。可以说,矩阵 描述了旋转本身。所以矩阵 称为旋转矩阵( Rotation Matrix)。显 然,我们定义的矩阵是由两组基之间的内积组成,实际上是各基向量夹角的余弦值,所以我们也可以称矩阵 为方向余弦矩阵 (Direction Cosine Matrix)。

同时,我们可以看出,矩阵 为正交矩阵,根据正交矩阵的性质,我们可以得到下面的关系:

很明显, 刻画了一个相反的旋转。

除些之外,旋转矩阵也有一些特别的性质,我们通过矩阵 的行列式可以看出,它是一个行列式为 1 的正交矩阵。反过来说,行列式为 1 的 正交矩阵也是一个旋转矩阵。

根据这些性质,我们可以推广到 维旋转矩阵,可以将 维旋转矩阵的集合定义如下:

在这里,表示的是特殊正交群(Special 0rthogonal Group)的意思,通过上式我们可以看出,这个集合由维空间的旋转拒阵组成,所以我们可以用表示二维空间的旋转。我们之后可以通过旋转短阵直接谈论两个坐标系之间的旋转变换,而不再通讨基表述。

 

2.2 两个坐标系间的欧式变换

        我们经常在实际场景中定义各种各样的坐标系,如果考虑运动的机器人(即相机),那么常见的做法是设定一个惯性坐标系(或者叫世界坐标系),可以认为它是固定不动的。

        刚体运动: 两个坐标系之间的运动变换由一个旋转加上一个平移组成,这种运动就是刚体运动。相机运动就是一个刚体运动。刚体运动过程中,同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。此时,我们说手机坐标系和世界坐标系之间,相差了一个欧氏变换(Euclidean Transform)。

 

旋转矩阵也有一些特别的性质,我们通过矩阵R的行列式可以看出,它是一个行列式为1的正交矩阵。反过来说,行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵
 

 

 

视觉SLAM十四讲 3-三维空间刚体运动_三维空间中的刚体有哪几个运动维度组成_Nismilesucc的博客-CSDN博客

视觉SLAM十四讲笔记-第三讲 刚体运动_独自悠哉独自在的博客-CSDN博客

 

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