写在前面
三十而立之年,开始自学数据分析,工作比较清闲,现发帖记录自己的数据分析之路,数据分析要学很多的东西,经过多月的摸索,目前分两个方面开始学习:
·知识方面:数学为王,拿起书本,重学《概率与统计》、《微积分》、《线性代数》
·软件方面:MySQL、Python
将暂时更新这几个序列,以便记录。
此篇为《线性代数》,第四版,经济科学出版社出版,为B站宋浩老师《线性代数》教学视频所用教材,自己也是跟着宋老师学,边学边做笔记,在此特别感谢像宋老师一样无私奉献的人。本书共7章,纯手工码字,视内容多少,分批次发布。
第一章 行列式
1.1 n阶行列式
1.1.1 二阶、三阶行列式
二阶行列式:2行2列4个元素
,i-行标,j-列标
主对角线:从左上角到右下角的对角线
次对角线:从右上角到左下角的对角线
三阶行列式:3行3列9个元素
三阶行列式的对角线展开法:
1.1.2 排列与逆序
排列:由1,2,···,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。(中间不能缺数)
n级排列共有n!种
逆序:大数排在小数的前面
逆序数:逆序的总数
例题:N(4213)=4
逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列为奇排列。
N(1,2,3,···n) 标准排列
数逆序数:(1)从第一个开始,数后面有几个比它小的(2)切记顺序不能乱来
对换:交换两个数
例题:N(54123)=7
N(54213)=8
一个排列经过一个对换后,奇偶性改变。
定理:n级排列中,奇偶排列各占一半,是个
1.1.3 n阶行列式
n阶行列式
第一种定义(按行展开)
行标取标准排列,列标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n个元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定。
第二种定义(按列展开)
列标取标准排列,行标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n个元素相乘,符号由行标排列的奇偶性决定。
简记为
下三角行列式:
=主对角线上所有元素的乘积
上三角行列式:
=主对角线上所有元素的乘积
对角线行列式:
=主对角线上所有元素的乘积
1.2 行列式的性质
转置:将原来行列式D的行和列互换,转置后的记作或.
性质1:,对行成立的性质,对列也成立
性质2:两行(列)互换,行列式值变号
性质3:两行(列)相等,D=0
性质4:某一行都乘k,等于用k乘以D
推论:行列式某一行有公因子k,k可以提到外面去
行列式所有元素,均有公因子k,k外提n次
性质5:行列式两行(列)对应成比例,则D=0
推论:行列式某一行(列)全为0,则D=0
性质6:若行列式的某一行(列)中所有元素都是两项和,则该行列式可表为两个行列式相加
(注:是和的那一行分开,其余行保持不变)
性质7:某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上去,行列式的值不变
1.3 行列式按行(列)展开
余子式:将元素所在第i行和第j列去掉,剩下的元素按原来相对位置所构成的n-1阶行列式称为D中元素的余子式,记为.
代数余子式:
定理(按某行(列)展开):
(1)降阶(2)选0多的行(列)展开
定理(异乘变零):
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0
拉普拉斯定理:
取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D
k阶子式:任选k行k列,交叉处的个元素构成的行列式
行列式相乘法则(同阶行列式):第一个行列式每一行去乘第二个行列式每一列,相加放在第一行,以此计算,最终得到的行列式
1.4 行列式的计算
计算方法一般是:先选定某一行(列),且这一行(列)尽可能含有零,并利用行列式性质将其中元素尽可能多地化成零,然后再按这一行(列)展开;如此继续下去,即可求的所要的结果。
范德蒙德行列式:
1.5 克莱姆法则
只适用于方程个数=未知量个数
系数行列式:未知数系数组成的行列式
克莱姆法则:含n个方程n个未知量的线性方程组,当其系数行列式时,有唯一解
齐次线性方程组:常数项全为零的线性方程组
定理:如果齐次线性方程组的系数行列式,则它只有零解。
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-518435.html
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