无人机中的坐标系、旋转矩阵与相机姿态计算

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了无人机中的坐标系、旋转矩阵与相机姿态计算。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

球坐标系

球坐标系是三维坐标系中的一种,在无人机中一般使用球坐标系来表示相机姿态,相机姿态的坐标是相对于无人机的,而无人机的飞行姿态则是相对于大地坐标系的。这里我们使用的相机是2自由度的相机,即可以水平 ϕ \phi ϕ 和垂直 θ \theta θ 两个方向转动,其中 ϕ ∈ [ 0 , 2 π ] \phi \in [0,2\pi] ϕ[0,2π] [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π] θ ∈ [ 0 , π ] \theta \in [0,\pi] θ[0,π],这里 ρ \rho ρ 为球半径(默认我们使用右手坐标系
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球坐标与笛卡尔坐标的转换

在后面的计算中因为球坐标不方便作旋转变换,我们需要用到球坐标与笛卡尔坐标的坐标转换
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球坐标到笛卡尔坐标

   x = ρ ∗ s i n ( θ ) ∗ c o s ( ϕ ) x =\rho*sin(\theta)*cos(\phi) x=ρsin(θ)cos(ϕ)

   y = ρ ∗ s i n ( θ ) ∗ s i n ( ϕ ) y=\rho*sin(\theta)*sin(\phi) y=ρsin(θ)sin(ϕ)

   z = ρ ∗ c o s ( θ ) z=\rho*cos(\theta) z=ρcos(θ)

笛卡尔坐标到球坐标

   ρ = x 2 + y 2 + z 2 \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} ρ=x2+y2+z2

   θ = a r c c o s ( z ÷ ρ ) \theta = arccos(z \div \rho) θ=arccos(z÷ρ)

   ϕ = a r c t a n ( y , x ) \phi=arctan(y,x) ϕ=arctan(y,x)

相机相对大地坐标系的姿态

为了计算方便,我们一般旋转坐标系将 z z z轴向下,这个时候无人机机头方向即是 x x x 轴方向, ϕ \phi ϕ即是相对于无人机机头的相机水平旋转角度, θ \theta θ在垂直于无人机方向上为0度;这时的无人机载体的坐标系就是我们常用的北东地坐标系(NED,即 x x x轴指向北, y y y轴指向东, z z z轴指向地面)。
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在无人机飞行中,无人机平台由于飞行运动及气流运动等因素,会影响无人机的飞行姿态,这时搭载的相机姿态相对大地坐标系会发生变化,需要加入无人机姿态去计算修正,以便于更准确计算相机的观测位置

无人机姿态一般包括3个角度即:偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)、翻滚角(Roll)。偏行角一般指无人机相对北极的顺时针角度,也即整个坐标系沿 z z z 轴顺时针旋转的角度,俯仰角即飞机的攻角或者飞机机头的俯仰角,在上面的坐标系中是沿 y y y 轴旋转的角度。翻滚角则是飞机左右倾斜的角度,在上面的坐标系中是沿 x x x 轴旋转的角度。
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以上需要注意的是:偏航角与其他角不同,这里偏航角的旋转的角度是: Y a w − 90 Yaw-90 Yaw90,如上图,是3维坐标系的俯视图,蓝色坐标系即是无人机载体坐标系NED,黑色坐标系即是大地坐标系。所以这里无人机载体的坐标系是相对于大地坐标系顺时针旋转了 Y a w − 90 Yaw-90 Yaw90度。另一个需要注意的是:最后得到的相机水平 ϕ \phi ϕ 角度需要取反,即 − ϕ -\phi ϕ;因为NED坐标系和大地坐标系中 y y y轴是对称的,如:上图可将蓝色 x x x轴转到 X X X轴上,这时俩坐标系 y y y轴是对称的,所以角度是相反的。

三维空间的旋转矩阵

沿 x x x 轴的旋转

   R x ( α ) = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) − s i n ( α ) 0 s i n ( α ) c o s ( α ) ] R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1&0 & 0 \\ 0&cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\ 0&sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{bmatrix} Rx(α)= 1000cos(α)sin(α)0sin(α)cos(α)

沿 y y y 轴的旋转

   R y ( β ) = [ c o s ( β ) 0 s i n ( β ) 0 1 0 − s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_y(\beta)=\begin{bmatrix} cos(\beta)&0&sin(\beta) \\ 0&1 & 0 \\ -sin(\beta)&0&cos(\beta) \end{bmatrix} Ry(β)= cos(β)0sin(β)010sin(β)0cos(β)

沿 z z z 轴的旋转

   R z ( γ ) = [ c o s ( γ ) − s i n ( γ ) 0 s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_z(\gamma)=\begin{bmatrix} cos(\gamma)&-sin(\gamma) &0 \\ sin(\gamma)&cos(\gamma) &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix} Rz(γ)= cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

合并旋转后的三维旋转矩阵

   R 3 d = R z ( γ ) R y ( β ) R x ( α ) R_{3d} = R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha) R3d=Rz(γ)Ry(β)Rx(α)

这里需要注意的是:1.旋转矩阵相乘的顺序,矩阵乘法不满足交换律,所以不同顺序一般最后得到的相机旋转角度不同(比较常用的顺序为 X Y Z XYZ XYZ Z Y X ZYX ZYX,这个依赖于惯性测量单元(IMU)的姿态解算约定的旋转顺序 )。 2. 旋转方向,这里默认写的都是正向旋转。下面贴一下逆向的旋转矩阵作为参考:

沿 x x x 轴的逆向旋转

   R x c ( α ) = [ 1 0 0 0 c o s ( α ) s i n ( α ) 0 − s i n ( α ) c o s ( α ) ] R_x^c(\alpha)=\begin{bmatrix} 1&0 & 0 \\ 0&cos(\alpha)&sin(\alpha) \\ 0&-sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{bmatrix} Rxc(α)= 1000cos(α)sin(α)0sin(α)cos(α)

沿 y y y 轴的逆向旋转

   R y c ( β ) = [ c o s ( β ) 0 − s i n ( β ) 0 1 0 s i n ( β ) 0 c o s ( β ) ] R_y^c(\beta)=\begin{bmatrix} cos(\beta)&0&-sin(\beta) \\ 0&1 & 0 \\ sin(\beta)&0&cos(\beta) \end{bmatrix} Ryc(β)= cos(β)0sin(β)010sin(β)0cos(β)

沿 z z z 轴的逆向旋转

   R z c ( γ ) = [ c o s ( γ ) s i n ( γ ) 0 − s i n ( γ ) c o s ( γ ) 0 0 0 1 ] R_z^c(\gamma)=\begin{bmatrix} cos(\gamma)&sin(\gamma) &0 \\ -sin(\gamma)&cos(\gamma) &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix} Rzc(γ)= cos(γ)sin(γ)0sin(γ)cos(γ)0001

很显然 R x c ( α ) = R x ( − α ) R_x^c(\alpha) = R_x(-\alpha) Rxc(α)=Rx(α),同理沿其他轴也是一样的,所以两种矩阵是形式等价的,只用一种就行了,注意旋转方向的正负。

代码实现

from math import *
import numpy as np

def rad(x):
    return radians(x)

def deg(x):
    return degrees(x)

def coord_sphere2cart(theta,phi, rho = 1):
    x = rho*sin(rad(theta))*cos(rad(phi))
    y = rho*sin(rad(theta))*sin(rad(phi))
    z = rho*cos(rad(theta))
    return x,y,z

def coord_cart2sphere(x,y,z):
    rho = sqrt(x**2+y**2+z**2)
    theta = acos(z/rho)
    phi = atan2(y,x)
    return rho,deg(theta),deg(phi)

def uav_rot(x,y,z,RX,RY,RZ):
    R = rad(RX) #Roll-X
    P = rad(RY) #Pitch-Y
    Y = rad(RZ) #Yaw-Z
    
    Rx = [[1,0,0],
          [0,cos(R),-sin(R)],
          [0,sin(R),cos(R)]]
    Ry = [[cos(P),0,sin(P)],
          [0,1,0],
          [-sin(P),0,cos(P)]]
    Rz = [[cos(Y),-sin(Y),0],
          [sin(Y),cos(Y),0],
          [0,0,1]]
    Rx = np.array(Rx)
    Ry = np.array(Ry)
    Rz = np.array(Rz)
    R3d = Rz @ Ry @ Rx
    xyz = np.array([x,y,z])
    return R3d @ xyz

def camera_rectify(pan,tilt,yaw,pitch,roll):
    x,y,z = coord_sphere2cart(theta=tilt,phi=pan,rho=1)
    x_,y_,z_ = uav_rot(x,y,z,RX=roll,RY=pitch,RZ=yaw)
    rho,theta,phi = coord_cart2sphere(x_,y_,z_)
    pan = phi
    tilt = theta
    return pan,tilt
    
def rot_mat_to_symbol():
    from sympy import Symbol,Matrix,sin,cos
    R = Symbol("R") #Roll-X
    P = Symbol("P")  #Pitch-Y
    Y = Symbol("Y") #Yaw-Z
    
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")
    z = Symbol("z")
    xyz = Matrix([[x],[y],[z]])

    Rx = Matrix([[1,0,0],
                 [0,cos(R),-sin(R)],
                 [0,sin(R),cos(R)]
                ])

    Ry = Matrix([[cos(P),0,sin(P)],
                 [0,1,0],
                 [-sin(P),0,cos(P)],
                ])

    Rz = Matrix([[cos(Y),-sin(Y),0],
                 [sin(Y),cos(Y),0],
                 [0,0,1]
                ])

    res = Rz*Ry*Rx*xyz
    for a,m in zip(xyz,res):
        print(a,"=",m)

参考:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-519643.html

  1. Geometric transformations in 3D and coordinate frames

到了这里,关于无人机中的坐标系、旋转矩阵与相机姿态计算的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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