空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

(一)空间曲线的切线和法平面

1. 参数方程的形式

同济版教材内容如下,请理解和记忆如下公式:
空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线,学习

参数方程在知道偏导数的情况下,求得该点的切线以及法平面的方程,这部分内容在空间向量那一章中有介绍,笔者可以理解,但是无法证明。

2. 可以转换为参数方程的第二种形式:

空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线,学习

将y、z表示成x的方程,x是x的方程并可以假设为t,此时,三元方程中,x、y、z都可以表示为t的参数方程的形式。这是求此类方程切线或者切面的思路。

此种变换的本质,就是将多元函数转换为参数方程的形式。如果多元方程无法转换为参数方程的形式,将无法求出此类函数的切线方程和法平面。

3. 第二种形式的进一步扩展

空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线,学习

该种形式的处理思路是,通过计算y、z对x的导数,转化为第二种形式,利用第二种方法,得到切线和法平面。

空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线,学习

根据雅可比式,按照第二种处理方式,最终得到如下图中的切线和法平面:
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第三种方式,实际上就是对方程求全导数,将y、z表达为x的函数,并求出y、z对x的导数。此过程跟上面的第一类和第二类的部分过程一样,将x看作多元参数方程中的t、将y和z当作t的参数方程,对t求导后,带入第一类或者第二类方法中,求出方程的切线和法平面的方程。

(二)曲面的切平面和法线

1. 普通形式
空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线,学习

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此处重点是理解(6-17)公式的含义。此公式可以看作两个向量的内积,因为内积为0,因此将此两个向量看作法向量和切线。曲面上定点每个变量的偏导数都是相等的,故可以推导出法向量的值,然后根据法向量推导出法线和切平面的公式。
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2. 第二种形式

第二种形式是第一种形式的特例,思路还是转化为第一种方程的格式,根据公式,带入即可。
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这部分章节较为繁琐,需要细细体会和沉淀,在记忆的基础上理解教材中的内容。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-520171.html

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