数值分析：拉格朗日插值法笔记以及C++代码实现-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数值分析：拉格朗日插值法笔记以及C++代码实现。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

插值需求的诞生：如何通过已知数据得到函数的近似解析表达式，从而获得更多的有用数据。
在实际应用中常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

一、Lagrange插值节点基函数推导

拉格朗日插值法c++,线性代数,c++,算法

二、n次Lagrange插值多项式公式推导

由于上面已经推导出Lagrange插值节点基函数的公式所以下面直接带入就可以了。
拉格朗日插值法c++,线性代数,c++,算法

三、Lagrange插值余项（误差）推导

拉格朗日插值法c++,线性代数,c++,算法

四、例题

拉格朗日插值法c++,线性代数,c++,算法

五、插值误差估计-事后误差估计

拉格朗日插值法c++,线性代数,c++,算法

六、C++代码实现以及验证例题

//定义拉格朗日插值多项式函数.目标：输入想预测的数字返回预测值
//x数组，y数组，num为想要预测的x,n为拉格朗日多项式次数
double Lagrange(double* x,double* y,double num,int n) {
	//x,y数组长度必须一致
	if ((sizeof(x) / sizeof(x[0])) != (sizeof(y) / sizeof(y[0]))) {
		cout << "x,y数组长度不一致" << endl;
		return 99999;
	}
	//给定n+1个节点最多只能构造n次Lagrange插值节点基函数
	if (sizeof(x) / sizeof(x[0]) > n) {
		return 99999;
	}

	//构造Lagrange插值节点基函数
	double* l = new double[n+1];
	for (int k = 0; k <= n; k++) {
		double Z = 1;
		for (int j = 0; j <= n;j++) {
			if (j == k) {
				continue;
			}
			Z = Z * (num - x[j]) / (x[k] - x[j]);
		}
		l[k] = Z;
	}

	//计算L_n(x):
	double Ln = 0;
	for (int k = 0; k <= n; k++) {
		Ln = Ln + l[k]*y[k];
	}
	return Ln;
}

int main() {
	double x[] = { 10,11,12,13 };
	double y[] = { 2.302585,2.397895,2.484907,2.564949 };
	int n = 2;
	double num = 11.25;
	cout << "预测值为：" << Lagrange(x, y, num, n) << endl;
	return 0;
}