线性代数克莱姆法则的几何含义

以二元一次方程组的求解为例：

$$\{\begin{array}{l}{a}_c{a}_1+b_c{b}_1=c_1\\ a_c{a}_2+b_c{b}_2=c_2\end{array}$$

其中$a_c$和$b_c$是我们待求的参数。

求解克莱姆法则为：

a c = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = ∣ c b ∣ ∣ a b ∣ a_{c}=\frac{c_{1} b_{2}-c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}=\frac{\left|\begin{array}{ll} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{|\mathbf{cb}|}{|\mathbf{ab}|} ac​=a1​b2​−a2​b1​c1​b2​−c2​b1​​= ​a1​a2​​b1​b2​​ ​ ​c1​c2​​b1​b2​​ ​​=∣ab∣∣cb∣​

b c = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = ∣ a c ∣ ∣ a b ∣ b_{c}=\frac{a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}=\frac{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{|\mathbf{ac}|}{|\mathbf{ab}|} bc​=a1​b2​−a2​b1​a1​c2​−a2​c1​​= ​a1​a2​​b1​b2​​ ​ ​a1​a2​​c1​c2​​ ​​=∣ab∣∣ac∣​

注意上面我们把行列式每一列都写成列向量的形式，也即

$$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right),\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)$$

上面的方程则改写为：

$$a_c\mathbf{a}+b_c\mathbf{b}=\mathbf{c}$$

我们不妨从几何直观来看：

从这个图我们发现【$(b_c\mathbf{b})$和$\mathbf{a}$围成的平行四边形面积】和【$\mathbf{c}$和$\mathbf{a}$围成的平行四边形面积】相等（这里用到了行列式的几何意义，在我的这篇博客里有叙述：线性代数行列式的几何含义。）。

$$\left|\left(b_c\mathbf{b}\right)\mathbf{a}\right|=|\mathbf{ca}|$$

$b_c$是常数，我们可以提取出来：

于是就有了克莱姆法则：

$$\begin{gathered} b_c=\frac{|\mathbf{ca}|}{|\mathbf{ba}|} \\ {a}_c=\frac{|\mathbf{bc}|}{|\mathbf{ba}|} \end{gathered}$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-521974.html

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