初等变换和广义初等变换——要点部分

一、初等变换

1. 互换变换

• 第$i$行和第$j$行互换：$E_{ij}$
• 第$i$列和第$j$列互换：$E_{ij}$

【例】第$1$行和第$2$行互换，或第$1$列和第$2$列互换： E 12 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] E12​= ​010​100​001​ ​

【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？

（1）行互换：设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= ​α1​α2​α3​​ ​，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$1$行和第$2$行互换后得到 B = [ α 2 α 1 α 3 ] = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A B= ​α2​α1​α3​​ ​= ​010​100​001​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​= ​010​100​001​ ​A。

（2）列互换：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$1$列和第$2$列互换后得到 B = ( α 2 , α 1 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = A [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] B=(α2​,α1​,α3​)=(α1​,α2​,α3​) ​010​100​001​ ​=A ​010​100​001​ ​。

2. 倍加变换

• 第$i$行的$k$倍加到第$j$行：$E_{ij}(k)$
• 第$i$列的$k$倍加到第$j$列：$E_{ij}(k)$

【例】第$1$行的$3$倍加到第$2$行，或第$2$列的$3$倍加到第$1$列： E 12 ( 3 ) = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] E12​(3)= ​130​010​001​ ​

【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？

（1）行倍加：设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= ​α1​α2​α3​​ ​，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$1$行的$3$倍加到第$2$行后得到 B = [ α 1 α 2 + 3 α 1 α 3 ] = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A B= ​α1​α2​+3α1​α3​​ ​= ​130​010​001​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​= ​130​010​001​ ​A。

（2）列倍加：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$2$列的$3$倍加到第$1$列后得到 B = ( α 1 + 3 α 2 , α 2 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] = A [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] B=(α1​+3α2​,α2​,α3​)=(α1​,α2​,α3​) ​130​010​001​ ​=A ​130​010​001​ ​。

3. 倍乘变换

• 第$i$行乘$k$：$E_i(k)$
• 第$i$列乘$k$：$E_i(k)$

【例】第$3$行乘$-2$，或第$3$列乘$-2$： E 3 ( − 2 ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] E3​(−2)= ​100​010​00−2​ ​

【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？

（1）行倍乘：设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= ​α1​α2​α3​​ ​，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为行向量，则第$3$行乘$-2$后得到 B = [ α 1 α 2 − 2 α 3 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A B= ​α1​α2​−2α3​​ ​= ​100​010​00−2​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​= ​100​010​00−2​ ​A。

（2）列倍乘：设矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为列向量，则第$3$列乘$-2$后得到 B = ( α 1 , α 2 , − 2 α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] = A [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] B=(α1​,α2​,−2α3​)=(α1​,α2​,α3​) ​100​010​00−2​ ​=A ​100​010​00−2​ ​。

4. 性质

（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）

• 互换：$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$
• 倍加：$E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
• 倍乘：$E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$

（2）幂次方

• 互换：$E_{ij}^n=\{\begin{array}{ll}{E}_{ij},& n为偶数\\ E,& n为奇数\end{array}$
• 倍加：$E_{ij}^n(k)=E_{ij}(nk)$
• 倍乘：$E_i^n(k)=E_i(k^n)$

（3）行列式

• 互换：$|E_{ij}|=-1$
• 倍加：$|E_{ij}(k)|=1$
• 倍乘：$|E_i(k)|=k(k\ne 0)$

（4）转置

• 互换：$E_{ij}^{\mathrm{T}}=E_{ij}$
• 倍加：$E_{ij}^{\mathrm{T}}(k)=E_{ji}(k)$
• 倍乘：$E_i^{\mathrm{T}}(k)=E_i(k)$

二、广义初等变换

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。

1. 广义换法变换

与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为$\left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]$，其行列式的值均不为$0$，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第$2$行与第$1$行互换：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{}\left[\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}C& D\\ A& B\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$2$列与第$1$列互换：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_1\leftrightarrow c_2}{}\left[\begin{array}{cc}B& A\\ D& C\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}O& E\\ E& O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}B& A\\ D& C\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

2. 广义消法变换

与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：$\left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]$，其行列式的值均不为$0$，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第$2$行左乘矩阵$M$后加到第$1$行：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_1+M{r}_2}{}\left[\begin{array}{cc}A+MC& B+MD\\ C& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+MC& B+MD\\ C& D\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$1$行左乘矩阵$M$后加到第$2$行：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{r_2+M{r}_1}{}\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C+MA& D+MB\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C+MA& D+MB\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（3）第$2$列右乘矩阵$M$后加到第$1$列：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_1+c_{2}M}{}\left[\begin{array}{cc}A+BM& B\\ C+DM& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& O\\ M& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A+BM& B\\ C+DM& D\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（4）第$1$列右乘矩阵$M$后加到第$2$列：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_2+c_{1}M}{}\left[\begin{array}{cc}A& B+AM\\ C& D+CM\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& M\\ O& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B+AM\\ C& D+CM\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

3. 广义倍法变换

与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：$\left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]$，其行列式的值为$|M|$，此时分为两种情况：当$|M|\ne 0$时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当$|M|=0$时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。

（1）第$1$行左乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{M{r}_1}{}\left[\begin{array}{cc}MA& MB\\ C& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}MA& MB\\ C& D\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（2）第$2$行左乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{M{r}_2}{}\left[\begin{array}{cc}A& B\\ MC& MD\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ MC& MD\end{array}\right]（行变换需左乘）\end{array}$$

（3）第$1$列右乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_{1}M}{}\left[\begin{array}{cc}AM& B\\ CM& D\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}M& O\\ O& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}AM& B\\ CM& D\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（4）第$2$列右乘矩阵$M（|M|\ne 0）$：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\stackrel{c_{2}M}{}\left[\begin{array}{cc}A& BM\\ C& DM\end{array}\right]\\ 等价于& \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}E& O\\ O& M\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& BM\\ C& DM\end{array}\right]（列变换需右乘）\end{array}$$

（原本还想加一些题目，无奈保存草稿时已经提示爆字数了，所以之后会另开一篇文章专门讲解例题）

续：初等变换和广义初等变换——例题部分文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-524827.html

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