初等变换和广义初等变换——要点部分

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了初等变换和广义初等变换——要点部分。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、初等变换

1. 互换变换

  • i i i行和第 j j j行互换: E i j E_{ij} Eij
  • i i i列和第 j j j列互换: E i j E_{ij} Eij

【例】第 1 1 1行和第 2 2 2行互换,或第 1 1 1列和第 2 2 2列互换: E 12 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] E12= 010100001

【推导】不凭记忆,如何求出互换变换矩阵?

(1)行互换:设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= α1α2α3 ,其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为行向量,则第 1 1 1行和第 2 2 2行互换后得到 B = [ α 2 α 1 α 3 ] = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A B= α2α1α3 = 010100001 α1α2α3 = 010100001 A

(2)列互换:设矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) A=(α1,α2,α3),其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为列向量,则第 1 1 1列和第 2 2 2列互换后得到 B = ( α 2 , α 1 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = A [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] B=(α2,α1,α3)=(α1,α2,α3) 010100001 =A 010100001

2. 倍加变换

  • i i i行的 k k k倍加到第 j j j行: E i j ( k ) E_{ij}(k) Eij(k)
  • i i i列的 k k k倍加到第 j j j列: E i j ( k ) E_{ij}(k) Eij(k)

【例】第 1 1 1行的 3 3 3倍加到第 2 2 2行,或第 2 2 2列的 3 3 3倍加到第 1 1 1列: E 12 ( 3 ) = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] E12(3)= 130010001

【推导】不凭记忆,如何求出倍加变换矩阵?

(1)行倍加:设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= α1α2α3 ,其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为行向量,则第 1 1 1行的 3 3 3倍加到第 2 2 2行后得到 B = [ α 1 α 2 + 3 α 1 α 3 ] = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A B= α1α2+3α1α3 = 130010001 α1α2α3 = 130010001 A

(2)列倍加:设矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) A=(α1,α2,α3),其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为列向量,则第 2 2 2列的 3 3 3倍加到第 1 1 1列后得到 B = ( α 1 + 3 α 2 , α 2 , α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] = A [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] B=(α1+3α2,α2,α3)=(α1,α2,α3) 130010001 =A 130010001

3. 倍乘变换

  • i i i行乘 k k k E i ( k ) E_{i}(k) Ei(k)
  • i i i列乘 k k k E i ( k ) E_{i}(k) Ei(k)

【例】第 3 3 3行乘 − 2 -2 2,或第 3 3 3列乘 − 2 -2 2 E 3 ( − 2 ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] E3(2)= 100010002

【推导】不凭记忆,如何求出倍乘变换矩阵?

(1)行倍乘:设矩阵 A = [ α 1 α 2 α 3 ] A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] A= α1α2α3 ,其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为行向量,则第 3 3 3行乘 − 2 -2 2后得到 B = [ α 1 α 2 − 2 α 3 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] [ α 1 α 2 α 3 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] A B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A B= α1α22α3 = 100010002 α1α2α3 = 100010002 A

(2)列倍乘:设矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) A=(α1,α2,α3),其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3为列向量,则第 3 3 3列乘 − 2 -2 2后得到 B = ( α 1 , α 2 , − 2 α 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] = A [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] B=(α1,α2,2α3)=(α1,α2,α3) 100010002 =A 100010002

4. 性质

(1)可逆:三种变换均不会改变矩阵的秩(矩阵的初等变换不会改变秩)

  • 互换: E i j − 1 = E i j E_{ij}^{-1} = E_{ij} Eij1=Eij
  • 倍加: E i j − 1 ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k) Eij1(k)=Eij(k)
  • 倍乘: E i − 1 ( k ) = E i ( 1 k ) E_{i}^{-1}(k) = E_{i}(\frac{1}{k}) Ei1(k)=Ei(k1)

(2)幂次方

  • 互换: E i j n = { E i j , n 为偶数 E , n 为奇数 E_{ij}^{n} = \begin{cases} E_{ij}, & n为偶数 \\ E, & n为奇数\end{cases} Eijn={Eij,E,n为偶数n为奇数
  • 倍加: E i j n ( k ) = E i j ( n k ) E_{ij}^{n}(k) = E_{ij}(nk) Eijn(k)=Eij(nk)
  • 倍乘: E i n ( k ) = E i ( k n ) E_{i}^{n}(k) = E_{i}(k^n) Ein(k)=Ei(kn)

(3)行列式

  • 互换: ∣ E i j ∣ = − 1 |E_{ij}| = -1 Eij=1
  • 倍加: ∣ E i j ( k ) ∣ = 1 |E_{ij}(k)| = 1 Eij(k)=1
  • 倍乘: ∣ E i ( k ) ∣ = k ( k ≠ 0 ) |E_{i}(k)| = k(k \neq 0) Ei(k)=k(k=0)

(4)转置

  • 互换: E i j T = E i j E_{ij}^{\mathrm{T}} = E_{ij} EijT=Eij
  • 倍加: E i j T ( k ) = E j i ( k ) E_{ij}^{\mathrm{T}}(k) = E_{ji}(k) EijT(k)=Eji(k)
  • 倍乘: E i T ( k ) = E i ( k ) E_{i}^{\mathrm{T}}(k) = E_{i}(k) EiT(k)=Ei(k)

二、广义初等变换

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换,该方法将每一块视为一个整体,类比初等变换那样进行变换。

1. 广义换法变换

与初等互换变换类似,广义换法变换的变换矩阵形式为 [ O E E O ] \left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] [OEEO],其行列式的值均不为 0 0 0,说明变换矩阵均可逆,此变换不会改变矩阵的秩

(1)第 2 2 2行与第 1 1 1行互换:
[ A B C D ] → r 1 ↔ r 2 [ C D A B ] 等价于 [ O E E O ] [ A B C D ] = [ C D A B ] (行变换需左乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right](行变换需左乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]r1r2 [CADB][OEEO][ACBD]=[CADB](行变换需左乘)

(2)第 2 2 2列与第 1 1 1列互换:
[ A B C D ] → c 1 ↔ c 2 [ B A D C ] 等价于 [ A B C D ] [ O E E O ] = [ B A D C ] (列变换需右乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1 \leftrightarrow c_2} \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right](列变换需右乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]c1c2 [BDAC][ACBD][OEEO]=[BDAC](列变换需右乘)

2. 广义消法变换

与初等倍加变换类似,广义消法变换的变换矩阵形式有两种: [ E M O E ] \left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] [EOME] [ E O M E ] \left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] [EMOE],其行列式的值均不为 0 0 0,说明变换矩阵均可逆,此变换不会改变矩阵的秩

(1)第 2 2 2左乘矩阵 M M M后加到第 1 1 1行:
[ A B C D ] → r 1 + M r 2 [ A + M C B + M D C D ] 等价于 [ E M O E ] [ A B C D ] = [ A + M C B + M D C D ] (行变换需左乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1+Mr_2} \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right](行变换需左乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]r1+Mr2 [A+MCCB+MDD][EOME][ACBD]=[A+MCCB+MDD](行变换需左乘)

(2)第 1 1 1左乘矩阵 M M M后加到第 2 2 2行:
[ A B C D ] → r 2 + M r 1 [ A B C + M A D + M B ] 等价于 [ E O M E ] [ A B C D ] = [ A B C + M A D + M B ] (行变换需左乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_2+Mr_1} \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right](行变换需左乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]r2+Mr1 [AC+MABD+MB][EMOE][ACBD]=[AC+MABD+MB](行变换需左乘)

(3)第 2 2 2右乘矩阵 M M M后加到第 1 1 1列:
[ A B C D ] → c 1 + c 2 M [ A + B M B C + D M D ] 等价于 [ A B C D ] [ E O M E ] = [ A + B M B C + D M D ] (列变换需右乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1+c_2M} \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right](列变换需右乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]c1+c2M [A+BMC+DMBD][ACBD][EMOE]=[A+BMC+DMBD](列变换需右乘)

(4)第 1 1 1右乘矩阵 M M M后加到第 2 2 2列:
[ A B C D ] → c 2 + c 1 M [ A B + A M C D + C M ] 等价于 [ A B C D ] [ E M O E ] = [ A B + A M C D + C M ] (列变换需右乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2+c_1M} \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right](列变换需右乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]c2+c1M [ACB+AMD+CM][ACBD][EOME]=[ACB+AMD+CM](列变换需右乘)

3. 广义倍法变换

与初等倍乘变换类似,广义倍法变换的变换矩阵形式有两种: [ M O O E ] \left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] [MOOE] [ E O O M ] \left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] [EOOM],其行列式的值为 ∣ M ∣ |M| M,此时分为两种情况:当 ∣ M ∣ ≠ 0 |M| \neq 0 M=0时,变换矩阵均可逆,此变换不会改变矩阵的秩;当 ∣ M ∣ = 0 |M|=0 M=0时,变换矩阵不可逆,此变换会改变矩阵的秩,这时就不能使用广义倍法变换了。所以,尽量少使用此变换,因为该变换可能会改变矩阵的秩。

(1)第 1 1 1左乘矩阵 M ( ∣ M ∣ ≠ 0 ) M(|M| \neq 0) MM=0
[ A B C D ] → M r 1 [ M A M B C D ] 等价于 [ M O O E ] [ A B C D ] = [ M A M B C D ] (行变换需左乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_1} \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right](行变换需左乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]Mr1 [MACMBD][MOOE][ACBD]=[MACMBD](行变换需左乘)

(2)第 2 2 2左乘矩阵 M ( ∣ M ∣ ≠ 0 ) M(|M| \neq 0) MM=0
[ A B C D ] → M r 2 [ A B M C M D ] 等价于 [ E O O M ] [ A B C D ] = [ A B M C M D ] (行变换需左乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_2} \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right](行变换需左乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]Mr2 [AMCBMD][EOOM][ACBD]=[AMCBMD](行变换需左乘)

(3)第 1 1 1右乘矩阵 M ( ∣ M ∣ ≠ 0 ) M(|M| \neq 0) MM=0
[ A B C D ] → c 1 M [ A M B C M D ] 等价于 [ A B C D ] [ M O O E ] = [ A M B C M D ] (列变换需右乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1M} \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right](列变换需右乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]c1M [AMCMBD][ACBD][MOOE]=[AMCMBD](列变换需右乘)

(4)第 2 2 2右乘矩阵 M ( ∣ M ∣ ≠ 0 ) M(|M| \neq 0) MM=0
[ A B C D ] → c 2 M [ A B M C D M ] 等价于 [ A B C D ] [ E O O M ] = [ A B M C D M ] (列变换需右乘) \begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2M} \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right](列变换需右乘) \end{aligned} 等价于[ACBD]c2M [ACBMDM][ACBD][EOOM]=[ACBMDM](列变换需右乘)

(原本还想加一些题目,无奈保存草稿时已经提示爆字数了,所以之后会另开一篇文章专门讲解例题)

续:初等变换和广义初等变换——例题部分文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-524827.html

到了这里,关于初等变换和广义初等变换——要点部分的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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    2024年02月12日
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  • 数学建模笔记(四):初等模型

    研究对象的机理比较简单,一般用静态、线性、确定性模型就能达到建模目的时,我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。 如果对于某个实际问题,采用初等方法和高级方法建立的两个模型的应用效果相差无几时,,初等方法更受欢迎。 (1)热量传播只有传导

    2024年02月08日
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