基于weka平台手工实现（LinearRegression | Ridge Regression，岭回归）

一、普通的线性回归

线性回归主要采用最小二乘法来实现，主要思想如下：

X = ( x 11 x 12 ⋯ x 1 d 1 x 21 x 22 ⋯ 5 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ x m 1 x m 2 ⋯ x m d 1 ) X=\left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d} & 1 \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & 5 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{md} & 1 \\ \end{matrix} \right) X= ​x11​x21​⋮xm1​​x12​x22​⋮xm2​​⋯⋯⋱⋯​x1d​5⋮xmd​​11⋮1​ ​

X为一个m行d+1列的矩阵，其中m行为数据的数量，d+1列表示参数的数量。d表示未知数系数的个数，1用来与截距相乘，相当于b。

$${\hat{\omega }}^{\ast }=\underset{\omega }{\mathrm{argmin}}(y-X\hat{\omega }{)}^T(y-X\hat{\omega })$$

损失函数如下：

$$E_{\hat{\omega }}=(y-X\hat{\omega }{)}^T(y-X\hat{\omega })$$

对于一个梯度可求且最大次方项为正的函数来讲，极小值点为导数为0的点。

$$\frac{\partial E_{\hat{\omega }}}{\partial \hat{\omega }}=2X^T(X\hat{\omega }-y)=0$$

$$(X\hat{\omega }-y)=0$$

$$X\hat{\omega }=y$$

$$X^{T}X\hat{\omega }=X^{T}y$$

$${\hat{\omega }}^{\ast }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

但是，矩阵求逆的前提是，当前矩阵是满秩的，也就是说它是非奇异矩阵，这就要求，$X^{T}X$ 矩阵中的数据都是线性无关的，如果其中的数据存在线性相关性，那么是无法求逆的。

这对于一个高维特征的数据是很难做到的，因为维度之间很可能存在相关性，完全一致之后就会成为奇异矩阵（无法求逆）。

因此，岭回归就产生了。专门用来解决上述问题。

二、岭回归（Ridge Regression）

岭回归主要做法是，对上述公式的对角线上加了一个很小的值（岭系数），这样无论如何，$X^{T}X$ 就都可以求导了。

$${\hat{\omega }}^{\ast }=(X^{T}X+\lambda I{)}^{-1}{X}^{T}y\text{\hspace{1em}(1)}$$

岭回归不是随便加的$\lambda$，因为我们要防止曲线过拟合，就需要控制多元函数的各个系数都不要太大，如果太大，就会造成过拟合，因此在损失函数后加上一个正则项。

$$\begin{array}{rl}{E}_{\hat{\omega }}& =(y-X\hat{\omega }{)}^T(y-X\hat{\omega })+\lambda {\omega }^T\omega \\ & =(y^{T}y-y^{T}X\hat{\omega }-{\hat{\omega }}^T{X}^{T}y+{\hat{\omega }}^T{X}^{T}X\hat{\omega })+\lambda {\omega }^T\omega \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E_{\hat{\omega }}}{\partial \hat{\omega }}& =-X^{T}Y-X^{T}Y+2X^{T}X\hat{\omega }+2\lambda \hat{\omega }\\ & =2(-X^{T}Y+X^{T}X\hat{\omega }+\lambda \hat{\omega })\\ & =0\end{array}$$

$$X^{T}X\hat{\omega }+\lambda \hat{\omega }=X^{T}Y$$

$$(X^{T}X+\lambda )\hat{\omega }=X^{T}Y$$

$$\hat{\omega }=(X^{T}X+\lambda I{)}^{-1}{X}^{T}Y\text{\hspace{1em}(2)}$$
将 (2) 式和 (1) 式进行对比，可以发现，二者是相同的。

三、代码实现

代码实现注释已经较为清晰，在此不再赘述具体实现过程。

package weka.classifiers.myf;

import weka.classifiers.Classifier;
import weka.core.*;
import weka.core.matrix.Matrix;

/**
 * @author YFMan
 * @Description 自定义的 线性回归 分类器
 * @Date 2023/5/9 15:45
 */
public class myLinearRegression extends Classifier {

    // 用于存储 线性回归 系数 的数组
    private double[] m_Coefficients;

    // 类别索引
    private int m_ClassIndex;

    // 存储训练数据
    private Instances m_Instances;

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 根据训练数据 建立 线性回归模型
     * @Date 2023/5/9 22:08
     * @Param [data] 训练数据
     * @return void
     **/
    public void buildClassifier(Instances data) throws Exception {
        // 存储训练数据
        m_Instances = data;

        // 初始化类别索引
        m_ClassIndex = data.classIndex();

        // 用来存储 线性回归 系数 的数组
        m_Coefficients = null;

        // 初始化数据矩阵 X
        // 高度是样例数量，宽度是属性数量+1（1作为 截距参数b 的输入）
        Matrix X = new Matrix(data.numInstances(), data.numAttributes());

        // 初始化数据矩阵 Y
        // 高度是样例数量，宽度是1
        Matrix Y = new Matrix(data.numInstances(), 1);

        // 初始化矩阵值
        for (int i = 0; i < data.numInstances(); i++) {
            int column = 0;
            for (int j = 0; j < data.numAttributes(); j++) {
                if (j != data.classIndex()) {
                    X.set(i, column, data.instance(i).value(j));
                    column++;
                } else {
                    Y.set(i, 0, data.instance(i).value(j));
                }
            }
        }

        // 设置 X 的最后一列为 1，用于计算 截距参数b
        for (int i = 0; i < data.numInstances(); i++) {
            X.set(i, data.numAttributes() - 1, 1);
        }

        // 计算XTX
        Matrix XTX = X.transpose().times(X);
        // 计算XTY
        Matrix XTY = X.transpose().times(Y);

        // 由于XTX可能是奇异矩阵，所以需要加一个岭回归系数
        for (int i = 0; i < XTX.getRowDimension(); i++) {
            XTX.set(i, i, XTX.get(i, i) + 0.0001);
        }

        // 计算系数矩阵
        Matrix solution = XTX.inverse().times(XTY);

        // 将系数矩阵转换为数组
        m_Coefficients = new double[solution.getRowDimension()];
        for (int i = 0; i < solution.getRowDimension(); i++) {
            m_Coefficients[i] = solution.get(i, 0);
        }
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 利用 建立的线性模型 对样例进行分类
     * @Date 2023/5/9 22:10
     * @Param [instance] 待分类的样例
     * @return double
     **/
    public double classifyInstance(Instance instance) throws Exception {
        // 计算回归模型的预测值
        double result = 0;
        int column = 0;
        for (int i = 0; i < instance.numAttributes(); i++) {
            if (m_ClassIndex != i) {
                result += instance.value(i) * m_Coefficients[column];
                column++;
            }
        }
        // 加上截距参数
        result += m_Coefficients[column];

        // 返回预测值
        return result;
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 输出建立的线性模型
     * @Date 2023/5/9 22:29
     * @Param []
     * @return java.lang.String
     **/
    public String toString() {

        try {
            StringBuilder text = new StringBuilder();
            int column = 0;
            boolean first = true;

            text.append("\nLinear Regression Model\n\n");

            text.append(m_Instances.classAttribute().name()).append(" =\n\n");
            for (int i = 0; i < m_Instances.numAttributes(); i++) {
                if (i != m_ClassIndex) {
                    if (!first)
                        text.append(" +\n");
                    else
                        first = false;
                    text.append(Utils.doubleToString(m_Coefficients[column], 12, 4)).append(" * ");
                    text.append(m_Instances.attribute(i).name());
                    column++;
                }
            }
            text.append(" +\n").append(Utils.doubleToString(m_Coefficients[column], 12, 4));
            return text.toString();
        } catch (Exception e) {
            return "Can't print Linear Regression!";
        }
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 主函数 生成一个线性回归函数预测器
     * @Date 2023/5/9 22:35
     * @Param [argv]
     * @return void
     **/
    public static void main(String[] argv) {
        runClassifier(new myLinearRegression(), argv);
    }
}

四、结果分析

在weka平台中的cpu.arff数据集上进行实验。

我们自己写的模型结果：

weka中的线性回归模型结果：

可以看到，weka平台中的算法和我们自己实现的结果，训练得到的参数是一致的，不同点在于weka平台中的算法有对属性进行选择，并没有使用所有特征进行训练（weka使用了5个特征），而我自己实现的没有进行属性选择，所以一共有6个特征。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-526273.html

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