Weibull Distribution韦布尔分布的深入详述(3)分析案例建模实践

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前言:

前两个章节,我们对韦伯分布的分布函数,以及相关的曲线参数已经做了比较深入的了解,现在,我们结合统计的实际案例进行分析,这样有助于我们应用于工程实践和理解参数的最终意义。

本章我们针对实际的分析案例进行分析。
包括:真空吸尘器的生命周期、移动硬盘、轮胎的使用里程

实例和参数

例一:真空吸尘器的生命周期

定义某个品牌的真空吸尘器生命周期 X (单位:百工作小时)具备韦伯分布,而且他的历史数据可知有,β =2,η=3,求:

E ( X ) a n d V ( X ) E(X) and V(X) E(X)andV(X)
E ( X ) = η Γ ( 1 β + 1 ) = 3 Γ ( 1 2 + 1 ) = 3 Γ ( 3 / 2 ) = 3 × 1 2 Γ ( 1 / 2 ) = 3 2 × π = 3 2 × 1.7725 = 2.6587 \begin{aligned} E(X) &= \eta \Gamma (\dfrac{1}{\beta}+1)\\ &=3\Gamma(\dfrac{1}{2}+1)\\ &=3\Gamma(3/2)\\ &=3\times\dfrac{1}{2}\Gamma(1/2)\\ &=\dfrac{3}{2}\times\sqrt{\pi}\\ &=\dfrac{3}{2}\times1.7725\\ &=2.6587 \end{aligned} E(X)=ηΓ(β1+1)=3Γ(21+1)=3Γ(3/2)=3×21Γ(1/2)=23×π =23×1.7725=2.6587
【案,意义为:吸尘器平均工作寿命为265.8小时】
V ( X ) = η 2 [ Γ ( 2 β + 1 ) − ( Γ ( 1 β + 1 ) ) 2 ] = 3 2 [ Γ ( 2 2 + 1 ) − ( Γ ( 1 2 + 1 ) ) 2 ] = 9 [ Γ ( 2 ) − ( Γ ( 3 / 2 ) ) 2 ] = 9 [ 1 − ( 1 2 Γ ( 1 / 2 ) ) 2 ] = 9 [ 1 − ( π 2 ) 2 ] = 9 [ 1 − ( 3.1416 2 ) 2 ] = 1.931846 \begin{aligned} V(X) &= \eta^2 \bigg[\Gamma (\dfrac{2}{\beta}+1) -\bigg(\Gamma (\dfrac{1}{\beta}+1) \bigg)^2\bigg]\\ &=3^2 \bigg[\Gamma (\dfrac{2}{2}+1) -\bigg(\Gamma (\dfrac{1}{2}+1) \bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[\Gamma(2)-\big(\Gamma(3/2)\big)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{1}{2}\Gamma(1/2)\bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{\sqrt{3.1416}}{2}\bigg)^2\bigg]\\ &=1.931846 \end{aligned} V(X)=η2[Γ(β2+1)(Γ(β1+1))2]=32[Γ(22+1)(Γ(21+1))2]=9[Γ(2)(Γ(3/2))2]=9[1(21Γ(1/2))2]=9[1(2π )2]=9[1(23.1416 )2]=1.931846
【案,在第一章我们已经分析过V(X)的意义,通过这个实例我们看到,吸尘器的平均使用寿命,如果用V(X)来分析的话,要不纯均值要小一点,可是,吸尘器商家一般都会在产品说明书上写上数学期望E(X)的值,我们使用者可以用这个值进行参考】

下面是计算吸尘器在不同的百小时工作范围内发生故障的概率:
【小于600小时的故障概率是98%】
P ( X ≤ 6 ) P(X\leq 6) P(X6)
P ( X ≤ 6 ) = F ( 6 ) = 1 − e − ( 6 / 3 ) 2 = 1 − e − ( 2 ) 2 = 1 − e − ( 4 ) = 1 − 0.0183 = 0.9817 \begin{aligned} P(X\leq 6) &=F(6)\\ &= 1-e^{-(6/3)^{2}}\\ &= 1-e^{-(2)^{2}}\\ &= 1-e^{-(4)}\\ &=1-0.0183\\ &=0.9817 \end{aligned} P(X6)=F(6)=1e(6/3)2=1e(2)2=1e(4)=10.0183=0.9817

【180小时到500小时之间的故障概率是67%】
P ( 1.8 ≤ X ≤ 5 ) P(1.8\leq X \leq 5) P(1.8X5)

P ( 1.8 ≤ X ≤ 6 ) = F ( 6 ) − F ( 1.8 ) = [ 1 − e − ( 6 / 3 ) 2 ] − [ 1 − e − ( 1.8 / 3 ) 2 ] = e − ( 0.6 ) 2 − e − ( 2 ) 2 = e − ( 0.36 ) − e − ( 4 ) = 0.6977 − 0.0183 = 0.6794 \begin{aligned} P(1.8 \leq X\leq 6) &=F(6)-F(1.8)\\ &= \bigg[1-e^{-(6/3)^{2}}\bigg] -\bigg[1-e^{-(1.8/3)^{2}}\bigg]\\ &= e^{-(0.6)^{2}}-e^{-(2)^{2}}\\ &= e^{-(0.36)}-e^{-(4)}\\ &=0.6977-0.0183\\ &=0.6794 \end{aligned} P(1.8X6)=F(6)F(1.8)=[1e(6/3)2][1e(1.8/3)2]=e(0.6)2e(2)2=e(0.36)e(4)=0.69770.0183=0.6794

【大于300小时的故障概率是36.7%】
P ( X ≥ 3 ) P(X\geq 3) P(X3)

P ( X ≥ 3 ) = 1 − P ( X < 3 ) = 1 − F ( 3 ) = 1 − [ 1 − e − ( 3 / 3 ) 2 ] = e − ( 1 ) 2 = 0.3679 \begin{aligned} P(X\geq 3) &=1-P(X< 3)\\ &= 1-F(3)\\ &= 1-\bigg[1-e^{-(3/3)^{2}}\bigg]\\ &= e^{-(1)^{2}}\\ &=0.3679 \end{aligned} P(X3)=1P(X<3)=1F(3)=1[1e(3/3)2]=e(1)2=0.3679

例二:移动硬盘故障率案例

某品牌的移动硬盘的在腐蚀性气体里的故障分析满足韦伯分布,其中,η =300,β=0.5,求:

【移动硬盘五百小时内出错的概率】
P ( X ≤ 500 ) = F ( 500 ) = 1 − e − ( 500 / 300 ) 0.5 = 1 − e − ( 1.6667 ) 0.5 = 1 − e − ( 1.291 ) = 1 − 0.275 = 0.725 \begin{aligned} P(X\leq 500) &=F(500)\\ &= 1-e^{-(500/300)^{0.5}}\\ &= 1-e^{-(1.6667)^{0.5}}\\ &= 1-e^{-(1.291)}\\ &=1-0.275\\ &=0.725 \end{aligned} P(X500)=F(500)=1e(500/300)0.5=1e(1.6667)0.5=1e(1.291)=10.275=0.725

【移动硬盘600小时稳定的概率】
P ( X ≥ 600 ) = 1 − P ( X < 600 ) = 1 − F ( 600 ) = 1 − [ 1 − e − ( 600 / 300 ) 0.5 ] = e − ( 2 ) 0.5 = 0.2431 \begin{aligned} P(X\geq 600) &=1-P(X< 600)\\ &= 1-F(600)\\ &= 1-\bigg[1-e^{-(600/300)^{0.5}}\bigg]\\ &= e^{-(2)^{0.5}}\\ &=0.2431 \end{aligned} P(X600)=1P(X<600)=1F(600)=1[1e(600/300)0.5]=e(2)0.5=0.2431

例三:轮胎失效性分析模型案例:

轮胎的使用是我们经常遇到的一个失效性问题。通过研究大量轮胎使用的公里数目的统计数据,构建轮胎的失效韦伯分布模型。现在,我们有一家轮胎公司生产轮胎。这家公司每月提供12000条轮胎给汽车厂。通过之前统计的数据,我们可以得出该系列轮胎的韦伯分布的 形状参数β为2.5,缩放参数η 为8000公里,那么,我们现在想预估一下,在之前的统计数据下,现在如果车辆行驶5000公里,会有多少轮胎需要更换呢?

【案,也许你要问β为2.5怎么来的?这个在后面的章节我们会讨论】
我们上两章知道,CDF的函数F(t)可表征为失效率:
F ( t ) = 1 − e − ( t η ) β ( t > 0 ) ( 1 ) \large\displaystyle F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) (1) F(t)=1e(ηt)β(t>0)1
而可靠性为:
R ( t ) = e − ( t η ) β ( t > 0 ) ( 2 ) \large\displaystyle R(t) = e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) (2) R(t)=e(ηt)β(t>0)2
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依据已知题意,代入公式(1),β=2.5,η =8000公里,t=5000公里,有,
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我们可以画出韦伯分布的图形如下:
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12000 * 0.266 = 3188
也就是在5000公里的时候,大约有3188条轮胎会出现问题。
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【案,针对这个问题的韦伯分布曲线的变换图如下】【右下角是参数情况】

图一 β<1

上一章,我们已经分析了,韦伯分布曲线和三个参数变换的情况。这里我们结合实际解释一下。
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图2 β<1

现在增加β
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图3 β<1

随着β的增加,图形发生的变换,我们可以表述为 ,h(t)失效率随着时间的增加变换速度在逐渐减慢,但仍然保持随着时间增加,样本事件会更加稳定的结论。
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图4 β=1

现在,h(t)失效函数稳定为一个直线,表述,随着时间增加系统的故障率不变,进入稳定运行阶段。
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图5 β>1

h(t)失效函数稳定随着时间增加而平缓增加。
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图6 β>1

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图7 β=2

h(t)失效函数稳定随着时间增加而线性增加。
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图8 β>2

h(t)失效函数稳定随着时间增加而指数增加。我们知道之前轮胎实际的统计数据,η =8000时候,β=3.5,那么为什么是β=3.5?
这里大约可解释为,轮胎的磨损的模型比较接近于高斯分布,也就是normal distribution,也就是轮胎的使用寿命,磨损的程度虽然和路况有关系,但是,统计的数据表述,最相关的还是轮胎本身的特性,例如橡胶材料,轮胎大小来决定的。这样就是高斯分布的样子。而8000公里也许就是轮胎的设计寿命时间。

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图9 β>2

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图10 β=8

【也许轮胎厂商希望轮胎使用,8000公里就必须立即更换,那么,也许设计轮胎让他数据统计达到β=8,这样如箭头所示,在8000公里的时候,h(t)的故障会急剧上升,而8000公里之前,他可以保证安全,这也许就是研究韦伯分布的实际意义】
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上一章参考:

第1章
第2章文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-528266.html

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